Matemática

Porque que somatorio de n variando de 1 ao infinito de 1 / n² é Convergente ?
e
Somatório de n variando de 1 ao infinito de 1 / n é Divergente ?

Resposta do Steiner:
Uma forma fácil de vermos isto e pelo teste da integral.Os termos de Soma /n são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x >0 por f(x) =1/x. E os de Soma 1/n^2 são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x > 0 por g(x) = 1/x^2. Tanto f como g são positivas e decrescentes para em (0, oo). Nesta condições, as séries convergem se, e somente se, as integrais de 1 a oo das funções que as geram convergem.

Temos que Integral (1 a oo) f(x) dx = Integral (1 a oo) 1/x dx = ln(x) [ 1 a oo] = oo, pois ln(x) vai para oo com x. Logo, a série Soma 1/n (série harm|ônica) diverge.

Por outro lado, Int (1 a oo) g(x) dx = Int (1 a oo) 1/x^2 dx =- 1/x [1 a oo] = 1, pois 1/x tende a zero quando x -> oo. Logo, a séries 1/n^2 converge.

Há outros métodos para mostrar isso, no caso e Soma 1/n^2 podemos determinar o limite, é uma expressão envolvendo pi da qual agora não me lembro ...

No caso de séries do tipo Soma 1/n^p,podemos mostrar que divergem se p <=1 e convergem se p >1. Se p <0 a conclusão é imediata. Se p> 0, podemos aplicar o teste da integral.

2007-08-17 06:39:12 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Quantos automóveis poderíamos ter com placas diferentes formadas com 3 letras quaisquer e 4 algarismos quaisquer ?
Percebam que foi usado o termo "quaisquer".

Solução do Steiner:
Bom, vou supor que é como aqui no Brasil, em que primeiro vem as 3 letras e depois os 4 números.
Vou também supor que no alfabeto das placas estejam as letras k, w e y, logo o total de 26 letras.

Temos assim os seguintes padrões de placas:

L1 L2 L3 N1 N2 N3 N4, onde L designa as letras e N os números.

Modos de escolher as letras a formarem os prefixos:
AC(26, 3), ou seja Arranjo Completo de 26, 3 a 3,. É arranjo completo, pois a ordem das letras faz diferença e podemos ter repetições.
Assim, AC(26, 3) = 26³.

Modo de escolher os números: Não estou certo se existe placa com 0000. Temos assim 10000 números de 0000 a 9999, o que é o mesmo que AC(10, 4).

Logo, o número total de placas que podemos ter com estes critérios é 26³ * 100 000 =
= 175 760 000

Resposta de M.v.j.s:

2007-08-16 11:32:35 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

2007-08-16 10:13:14 · 5 respostas · perguntado por ronderingo 1

2007-08-16 10:11:02 · 3 respostas · perguntado por ronderingo 1

2007-08-16 10:08:21 · 3 respostas · perguntado por ronderingo 1

2007-08-16 10:05:57 · 3 respostas · perguntado por ronderingo 1

sendo p/q uma fração irredutivel, o numero que se deve subatrair de seus termos para se obter o oposto do inverso multiplicação dessa fração é


a) p+q
b) -(p+q)
c) (p²+q²)/p+q
d) q - p







por favor me expliquem o modo de resolução e o de pensar
é questão para estudo]
agradeço

2007-08-16 10:01:44 · 1 respostas · perguntado por Anonymous

Desde que entrei no YR tenho procurado, no permitido pelo meu conhecimento , ajudar os que têm dúvidas em matemática. Acho que colaborei um pouco. Porém, algumas pessoas me escreveram dizendo que minhas respostas são um tanto curtas, às vezes lacônicas, e que passo por cima de alguns detalhes, deixando que o leitor pense um pouco. De fato, não costumo escrever muito, vou aos pontos que me parecem mais importantes. Na maioria das vezes, não escolhem minha resposta como a melhor, meu percentual de melhores respostas é baixo. Isso não é importante,o que vale é colaborare aprender. Mas gostaria de saber se de fato julgam que minhas respostas são muito curtas e deixam margem a que o leitor tenha que dispender algum esforço mental. Algums não gostam disso..

2007-08-16 09:51:43 · 6 respostas · perguntado por Steiner 7

2007-08-16 09:42:55 · 10 respostas · perguntado por Mandarax 5

Em um salão encontra-se 5 portas.Quantas maneiras eu posso encontrar o salão aberto por uma ou mais portas ?

Resposta do Steiner:
O problema pode ser visto da seguinte forma. Para cada porta, temos duas possibilidades, aberta A, ou fechada, F. Assim, o que temos que fazer é, tendo as 5 portas

P1 P2 P3 P4 P5

colocar debaixo de cada uma delas A ou F. Ou seja, distribuir as letras A e B entre as 5 portas, um caso de arranjo completo de 2 , 5 a 5. Conforne sabemos, temos então AC(2,5) = 2^5 = 32 maneiras.

Mas, com isto, incluimos o caso F F F F F , em que as 5 portas estão fechadas e que não atende ao pedido. Excluindo este caso, temos 31 opções com pelo menos uma porta aberta.

Resposta do Cassio:
Há 32 possibilidades possíveis, pois se são 5 portas e cada porta possui dois estados, aberto ou fechado então podemos calcular:

2 elevado a 5ª potência = 32

Mas como você deseja somente as possibilidades onde haja pelo menos uma porta aberta, excluímos uma possibilidade, que é aquela que todas estão fechadas.

Então a resposta correta é:
31 possibilidades de alguma porta aberta

2007-08-16 07:47:02 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Na despedida de um grupo de amigos, 36 abraços foram trocados.
Sabendo que cada um abraçou todos os outros, quantos
amigos estavam reunidos ?

Resposta de steiner:
Seja n o número de amigos. A cada par de amigos (a ordem aqui não importa) corresponde um abraço e vice-versa. Assim, houve C(n, 2) abraços (combinação de n, 2 a 2).

Logo, C(n, 2) = n(n-1)/2 = 36 => n^2 - n - 72 = 0, cujas raizes são 9 e -8. Como neste caso raiz negativa nã faz sentido, a resposta é 9.

Resposta do Edson:
São 9 amigos.
Seja N o número de amigos. Como cadaa um abraça todos os outros menos ele mesmo, cada um dará (N-1) abraços. Mas acontece que A abraçar B é o mesmo que B abraçar A, então, podemos dizer que:
n(n-1) /2 = 36
Resolvendo teremos: n^2 - n - 72 = 0
esta equação tem como raízes 9 e -8. Como não existem -8 amigos (você pode até tr 8 inimigos, mas isto é diferente de -8 amigos) só a raiz 9 satisfaz a equação.

Resposta da Maria luiza:
eu fiz por lógica, mas acho que está certo. deu 9 amigos.
por análise combinatória
amigo 1 - abraça os outros 8
amigo 2 - já foi abraçado pelo 1 - abraça os outros 7
amigo 3 - abraça os outros 6
amigo 4 - abraça os outros 5
amigo 5 - abraça os outros 4
amigo 6 - abraça os outros 3
amigo 7 - abraça os outros 2
amigo 8 - abraça o que falta
amigo 9 - já foi abraçado por todo mundo

2007-08-16 06:52:30 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

2007-08-16 00:44:47 · 1 respostas · perguntado por Única 1

Seqüência de Polinômios, como provar isso ?
Gostaria de ajuda para o seguinte:

Mostre que uma Sequência de Polinômios definidos em ( 0, 1) não pode Convergir Uniformemente para f ( x ) = sen (1 / x )

Resposta do steiner:
Polinômios são Funções Contínuas em toda a reta Real. Apresentam, assim, limite finito em x = 0, logo em x = 0+, sendo este limite o termo independente do polinômio.
Assim, se a citada seqüência de polinômios convergir uniformemente em (0, 1) para alguma função f, então, segundo conhecido teorema da Análise, f apresenta limite finito em x = 0+.
(Se f_n é uma seqüência de funçoes definidas em um conjunto D, que apresentam limite em um ponto de acumulação a de D e que converge uniformemente em D para uma função f, então f apresenta limite em D e lim (x--> a) f(x) = lim (lim ( x--> a) f_n(x)) )

Mas a função f(x) = sen(1 / x) não apresenta limite em x =0+, fica oscilando e não tende para nenhum valor quando x --> 0+. Logo, esta função não pode ser, em (0, 1)

2007-08-15 13:14:07 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

se fazer um mestrado tb em matemática?

2007-08-15 08:09:25 · 1 respostas · perguntado por Anonymous

2007-08-15 07:58:28 · 2 respostas · perguntado por Única 1

(k-3).x²-4kx+1=0 seja igual ao seu produto é:

2007-08-15 07:22:18 · 3 respostas · perguntado por ronderingo 1

2007-08-15 06:24:20 · 3 respostas · perguntado por Anonymous

2007-08-15 06:21:15 · 3 respostas · perguntado por Anonymous

O produto das raízes da equação x elevado a 2+2x-3=0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7.O 100 termo dessa PA é??

2007-08-15 06:19:27 · 3 respostas · perguntado por Anonymous

2007-08-15 04:03:28 · 2 respostas · perguntado por Chrislaine A 1

Qual o valor do limite do produto P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8) .... ?
...quando o número de fatores tende ao infinito, é:


Resposta do Steiner:
O termo geral do produto é a_n = 3^(1 / 2^n), n=0,1,2,3...

Assim, o produto parcial p_n ´2 p_n = Produto (i =0, n) a_n = Produto (i = 0, n) 3^(1 / 2^n) = 3^(Soma (i=0, n) (1/2^n).

Soma (i =0, oo) (1 / 2^n) é a séria geométrica de termo inicial 1 e razão 1/2.
Seu limite é (1) / (1 - 1/2) = 2.

Logo, lim p_n = 3^(2) = 9.

Resposta Shadows Specter:
Observe o seguinte:
P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8)...
P = 3 ^ (1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
Note que a soma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... nada mais é que a soma dos termos da P.G infinita (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) com razão q = 1/2.
Assim o nosso problema se resumi a calcular tal soma.
Usando a formula da soma dos infinitos termos para uma P.G de razão entre -1 e 1(desde q a razão não seja 1):
S = a1/(1- q)
S: soma
a1: primeiro termo
q: a razão
No nosso caso a1= 1 e q = 1/2
S = 1 / (1 - 1/2)
S = 1 / 1/2
S = 2
Assim a soma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+ ... se aproxima de 2.
Portanto temos:
P = 3^(1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+ ... )
P = 3^2
P = 9

Espero q tenhas entendido...

2007-08-14 18:30:04 · 3 respostas · perguntado por vitor m 6

Qual o lim x->2+ 1 / ( x - 2 )² ?

Resposta do Steiner:
Quando x -> 2+, x -2 -> 0 e 1/(x -2)^2 torna-se arbitraiamente grande e positivo à medida em que nos aproximamos de 2. Assim, 1 / (x -2)^2 -> oo quando x --> 2. Ou, de forma simbólica, lim x --> 2+ 1/(x -2)^2 = oo.

Comentário de Va(V)p ao Steiner:
Substituindo x por valores próximo a 2 mais um pouquinho maiores, à medida q nos aproximamos de 2 vemos q os resultados vão se tornando cada vez maiores...

Mas achei q tivesse uma forma digamos mais prática de ver q era infinito...

Obrigada

Kisses

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2007-08-14 18:18:44 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Dá-se um Triangulo ABC de lados a =15, b = 8 e c = 12. Sobre o lado "a" marca-se um ponto D, e, a seguir, liga-se o ponto D ao ponto A.
Fazendo-se DB = p, DC = q, e AD = x e sabendo-se que p / q = 1 / 2, Qual o valor de x ?

Resposta do Steiner:
Há um teorema, cujo autor no momento não me lembro (faz 30 anos que estudei geometria), que se aplica ao seu caso. Considerando-se os segmentos orientados, isto é, convencionando-se que DB = - BD, temos que:

(AB²) / (BD * BC) + (AD²) /(DB * DC) + (AC²)/(CD * CB) = 1
Com base nos dados fornecidos, temos então que

144/(p * 15) - x² / (pq) + 64/(q * 15) = 1
144/(15p) - x²(pq) + 64/(15 q) = 1 (1)
Além disto, temos que
p + q = 15
p/q = 1/2 => q = 2p
Assim, substituindo em cima
3p = 15 => p = 5 e q = 15 - p = 10 temos agora p e q definidos. Substituindo em (1), temos

144/75 - x² / 50 + 64/150 = 1 Multiplicando a equação por 150, para facilitar, chegamos a

288 - 3x² + 64 = 150 => 3x² = 202 => x = raiz(202/3) =~ 8,205689

2007-08-14 18:08:37 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Quanto é dois mais dois dividido por dois ?

Resposta do Steiner:
Segundo a convenção usual, primeiro realizam-se multiplicações e divisões e, depois, somas e subtrações. É assim, por exemplo, que computadores e planilhas eletrônicas funciomam.

Desta forma, o resultado é 2 + 2/2 ou seja 2 + 1 = 3.

Resposta de A. N:
Depende...
=> 2 + (2/2) = 3
=> (2 + 2)/2 = 2
A pergunta traz uma ambigüidade que, na linguagem matemática, é eliminada pelo uso dos parênteses.

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fim

2007-08-14 18:00:06 · 3 respostas · perguntado por vitor m 6

O preço de venda de um Bem de consumo é $ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25 % sobre o Preço de Custo deste Bem. Qual o valor do preço de custo ?

a) $ 25,00 d) $ 80,00
b) $ 70,50 e) $ 125,00
c) $ 75,00

Resposta do Steiner:
Seja C o preço de custo do produto. Como o comerciante tem um lucro de 25% sobre este preço, ele o vende por C + 25%C = C + 0,25C = 1,25 C, que é o prço de venda de 100. Logo 1,25C = 100 => C = 100/1,25 = 80, resposta d.

Resposta do Vinicius T:
Se o preço de venda é $100,00, então 100 = custo de produção + 25% do custo de produção

chamando custo de produção de "x" pode-se escrever assim

100 = x + 0,25.x
100 = 1,25.x
x = 100 / 1,25
x = 80

Portanto o custo de produção é de R$80,00

se quiser conferir basta fazer a conta
Custo = 80
25% de 80 = 80 * 25/100 = 20
Preço de venda = 80 + 20 = 100

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2007-08-14 17:48:07 · 2 respostas · perguntado por vitor m 6

Lino diz para Lauro: "Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens".
Sabendo-se que a soma das idades dos dois é 45.
Qual a idade de Lino ?

Resposta do steiner:
Seja Li e La as idades de Lino e de Lauro, respectivamente.
Lino é Li - La anos mais velho do que Lauro.
Logo, Lino teve a idade de Lauro Li - La anos atrás.
Nesta época, a idade de Lauro era La - (Li - La) = 2La - Li.

De acordo com o enunciado, temos então que

Li = 3.(2.La - Li )
Li + La = 45 Da 1ª equação, vem que

Li = 6.La - 3Li => 4Li = 6 La => Li = 6La/4 = 1,5 La.

Substituindo na 2ª equação, obtemos

1,5 La + La = 45 =>
2,5 La = 45 =>
La = 45 / 2,5 = 18.
Logo,
Li = 45 - La = 45 - 18 = 27

Assim, Lino tem 27 anos e Lauro 18.

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2007-08-14 17:31:45 · 2 respostas · perguntado por vitor m 6

Qual a razão de uma PG de 7 termos que a_1 = 1458 e a_7 = 2 ?

Resposta do Steiner:
Seja q a razão da PG. Então, a7 / a1 = q^(7 -1) = q^6 = 2 / 1458 = 1 / 729, de modo que q = 1 / (729^(1 / 6 ) ).
Como a PG tem termos positivos, só serve a solução positiva, ou seja, q = 1 / 3.

Resposta do Will:
an = a1 x q (elevado a n - 1)

an = último termo = 2
a1 = primeiro termo = 1458
q = razão = ?
n = número de termos = 7

an = a1 x q (elevado a n - 1)
2 = 1458 x q (elevado a 7 - 1)
2 = 1458 x q (elevado a 6)
q (elevado a 6) = 2 / 1458
q (elevado a 6) = 1 / 729
q (elevado a 6) = (1 / 3) (elevado a 6)
q = ± (1 / 3)

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2007-08-14 17:22:58 · 3 respostas · perguntado por vitor m 6

A Raiz Quadrada do produto entre o MDC e MMC dos números "N e 20" é 30.
A razão entre o MDC e o MMC é 1 / 36.
Quanto vale a soma desses dois números ? ( o "n" com o 20 )

Resposta do Steiner:
O prodto do MDC pelo MMC de 2 números inteiros positivos é o produto dos 2 números. Sendo m o MDC e e M o MMC, então raiz(m M) = raiz(20N) = 30 => 20N = 900 => N = 45. Assim, a soma dos números é 45 + 20 = 65.

Comentários:
A informação dada sobre a relação entre MDC e MMC não é necessária. Mas, só para verificar, temos que
m = MDC(45, 20) = MDC(3² * 5, 2² * 5) = 5
M = MMC(3² * 5, 2² * 5) = 2² * 3² * 5 = 180

Logo, m / M = 5 / 180 = 1 / 36 Bateu !
Mas esta informação não era necessária.

Resposta do Pedro Gonzaga:
MDC / MMC = 1/36
MDC = x

x / MMC = 1/36
MMC = 36x

A raiz quadrada do produto entre o MDC e MMC dos nº N e 20 é 30.
√ (x * 36x) = 30
√(36x²) = 30
x6x = 30
x = 5

MDC e MMC dos nº N e 20
MDC = x = 5
MMC = 36*5 = 180

Os nº N e 20 têm MDC = 5 e MMC = 180.
Logo, o número N é 45.

2007-08-14 17:12:57 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Qual o valor de "p" para que o Trinômio do 2º grau p.x² - 4p².x + 24. p tenha Máximo igual a 4k, quando x = k ?

Resposta do Steiner:
Um trinômio do 2º grau do tipo y = ax² + bx + c, a ≠ 0, passa por um extremo quando x = -b / (2a).
Assim, no caso, o ponto extremo ocorre em x* = -(-4p² ) / 2(p) = 2.p.
Como se deseja que x* = k, temos k = 2.p.
Neste ponto, o trinômio, pelo enunciado, deve apresentar o valor máximo de 4.k.
Substituindo x* = 2p no trinômio, temos que
4p³ - 8p³ + 24 p = 4k = 8p
Logo, - 4p³ + 16 p = 0.
Como se trata de um trinômio do 2º grau, não podemos ter p = 0.
Assim os valores de p são raízes de
- 4p² + 16 = 0 ou seja, p² = 4, p = 2 ou p = -2.
Mas como se deseja que o trinômio apresente um máximo, o coeficiente do 2º grau, p, tem que ser negativo( para ter a concavidade voltada para baixo).
Logo, a resposta é -2.

Resposta de José Paulo d:
y=p.x^2-4.p^2.x+24.p

Para achar máximo e mínimo deve-se derivar e igualar a zero:

y'=2.p.x-4.p^2=0

x=2.p

Para verificar se é max ou min, precisamos da segunda derivada y". Se y"<0 será máximo.

y"=2p, portanto será máximo para p<0

ymax para x=2.p=k

ymax=4.p^3-8.p^3+24.p=
=4.k=8.p

-4.p^3+24.p=8.p

-4.p^3=-16.p

p^2=4

p=+-2

Como p<0, então p= -2

resposta....p= -2

2007-08-14 16:41:17 · 1 respostas · perguntado por vitor m 6

Qual é o 100º termo da sequência : 1 , 3, 6, 10, 15 ...

Resposta do Steiner:
Este tipo de problema não fica perfeitamente definido conhecendo-se apenas um número finito de termos. Mas, parece que quem bolou isso tinha em mente a Seqüência da soma dos números naturais.
Isto é:
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
etc.

Os Números Naturais formam um Progressão Aritmética de razão 1 e termo inicial 1.
A soma dos "n" primeiros números naturais é n (n+1) / 2. Assim, fazendo n = 100, obtemos (100 * 101) / 2 = 5050, que, segundo nossa hipótese, é o 100Este tipo de problema não fica perfeitamente definido conhecendo-se apenas um número finito de termos. Mas, parece que quem bolou isso tinha em mente a seqüência da soma dos números naturais.
Isto é:
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
etc.
Os números naturais formam um progressão aritmética de razão 1 e termo inicial 1. A soma dos n primeiros números naturais é n ( n + 1) / 2.
Assim, fazendo n = 100, obtemos (100 * 101) / 2 = 5050

2007-08-14 16:03:21 · 3 respostas · perguntado por vitor m 6