Trinômio do 2º grau x Função do 2º Grau : Qual o valor de "p" para que o Trinômio do 2º grau p.x² - 4p².x + 2

Question

Qual o valor de "p" para que o Trinômio do 2º grau p.x² - 4p².x + 24. p tenha Máximo igual a 4k, quando x = k ?

Resposta do Steiner:
Um trinômio do 2º grau do tipo y = ax² + bx + c, a ≠ 0, passa por um extremo quando x = -b / (2a).
Assim, no caso, o ponto extremo ocorre em x* = -(-4p² ) / 2(p) = 2.p.
Como se deseja que x* = k, temos k = 2.p.
Neste ponto, o trinômio, pelo enunciado, deve apresentar o valor máximo de 4.k.
Substituindo x* = 2p no trinômio, temos que
4p³ - 8p³ + 24 p = 4k = 8p
Logo, - 4p³ + 16 p = 0.
Como se trata de um trinômio do 2º grau, não podemos ter p = 0.
Assim os valores de p são raízes de
- 4p² + 16 = 0 ou seja, p² = 4, p = 2 ou p = -2.
Mas como se deseja que o trinômio apresente um máximo, o coeficiente do 2º grau, p, tem que ser negativo( para ter a concavidade voltada para baixo).
Logo, a resposta é -2.

Resposta de José Paulo d:
y=p.x^2-4.p^2.x+24.p

Para achar máximo e mínimo deve-se derivar e igualar a zero:

y'=2.p.x-4.p^2=0

x=2.p

Para verificar se é max ou min, precisamos da segunda derivada y". Se y"<0 será máximo.

y"=2p, portanto será máximo para p<0

ymax para x=2.p=k

ymax=4.p^3-8.p^3+24.p=
=4.k=8.p

-4.p^3+24.p=8.p

-4.p^3=-16.p

p^2=4

p=+-2

Como p<0, então p= -2

resposta....p= -2

Como melhorar essas respostas ( ou soluções ) ?

fim

Answer 1

Talvez haja uma solução melhor do que as que foram apresentadas. Não a vi, mas talvez haja. Procurei simplificar, usar relações matemáticas conhecidas, citar os pontos fundamentais. Todas as respostas foram boas. Optei por uma forma mais concisa.