Sequência de Polinomios x Convergência Uniforme : Mostre que uma Sequência de Polinômios definidos em ( 0, 1)

Question

Seqüência de Polinômios, como provar isso ?
Gostaria de ajuda para o seguinte:

Mostre que uma Sequência de Polinômios definidos em ( 0, 1) não pode Convergir Uniformemente para f ( x ) = sen (1 / x )

Resposta do steiner:
Polinômios são Funções Contínuas em toda a reta Real. Apresentam, assim, limite finito em x = 0, logo em x = 0+, sendo este limite o termo independente do polinômio.
Assim, se a citada seqüência de polinômios convergir uniformemente em (0, 1) para alguma função f, então, segundo conhecido teorema da Análise, f apresenta limite finito em x = 0+.
(Se f_n é uma seqüência de funçoes definidas em um conjunto D, que apresentam limite em um ponto de acumulação a de D e que converge uniformemente em D para uma função f, então f apresenta limite em D e lim (x--> a) f(x) = lim (lim ( x--> a) f_n(x)) )

Mas a função f(x) = sen(1 / x) não apresenta limite em x =0+, fica oscilando e não tende para nenhum valor quando x --> 0+. Logo, esta função não pode ser, em (0, 1)

Logo, esta função não pode ser, em (0, 1) o limite uniforme de uma seqüência de polinômios.

Como melhorar essa resposta ( ou solução ) ?

fim

Answer 1

Sinceramente, não vejo como melhorar. Foi a melhor e mais simples solução que me ocorreu. O fato de serem polinômios, de termos convergência uniforme, e de que f(x) =sen(1/x) não apresenta limite em 0+, me trouxe imediatamente à mente o teorema que citei.

Não vejo solução mais simples. O usuário que fez esta pergunta, de nível superior à da maioria daquela que costumam se apresentar aqui no YR, certamente conhece, os conceitos citados, ou não teria sentido fazer este tipo de pergunta.

Talvez haja outra solução, porém a que vislumbro como mais simples foi a que dei.