Limites x Limite x Série Geométrica : Qual o valor do limite do produto P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8) ..

Question

Qual o valor do limite do produto P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8) .... ?
...quando o número de fatores tende ao infinito, é:


Resposta do Steiner:
O termo geral do produto é a_n = 3^(1 / 2^n), n=0,1,2,3...

Assim, o produto parcial p_n ´2 p_n = Produto (i =0, n) a_n = Produto (i = 0, n) 3^(1 / 2^n) = 3^(Soma (i=0, n) (1/2^n).

Soma (i =0, oo) (1 / 2^n) é a séria geométrica de termo inicial 1 e razão 1/2.
Seu limite é (1) / (1 - 1/2) = 2.

Logo, lim p_n = 3^(2) = 9.

Resposta Shadows Specter:
Observe o seguinte:
P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8)...
P = 3 ^ (1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
Note que a soma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... nada mais é que a soma dos termos da P.G infinita (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) com razão q = 1/2.
Assim o nosso problema se resumi a calcular tal soma.
Usando a formula da soma dos infinitos termos para uma P.G de razão entre -1 e 1(desde q a razão não seja 1):
S = a1/(1- q)
S: soma
a1: primeiro termo
q: a razão
No nosso caso a1= 1 e q = 1/2
S = 1 / (1 - 1/2)
S = 1 / 1/2
S = 2
Assim a soma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+ ... se aproxima de 2.
Portanto temos:
P = 3^(1+ 1/2 + 1/4 + 1/8+ ... )
P = 3^2
P = 9

Espero q tenhas entendido...

Resposta de Va(V)p:
Podemos escrever como a série como:

3^ (1+1/2+1/4+1/8+...) =
3^(soma PG infinita onde a1=1 e q = 1/2) =
3^ (a1/(1-q) ) =
3^ (1/(1-1/2) ) =
3^ (1/(1/2) ) =
3^2 =

9

Resposta de José soh:
para multiplicar potencias de mesma base, eleva-se a base á soma dos expoentes. Então:

==> soma dos expoentes=> 1/2 + 1/4 + 1/8......que é uma progressão geométrica de razão 1/2.

Soma = a1/ 1-q = 1/2 ÷ 1/2 = 1

Portanto P = 3 x 3^1 = 3x3 = 9

Como melhorar essas respostas ( ou soluções ) ?

fim

Answer 1

Repito minha resposta, adicionando somente um detalhe, acho que está clara e simples.
Qto ao carinha ai de cima, ele usou a mesma coisa q eu para achar o limite rsrsrs Só economizou nas palavras hehe

P = 3 * 3^(1/2) * 3^(1/4) * 3^(1/8) ..

Lembrando da propriedade de exponenciação : a^b * a^c = a^(b+c), podemos escrever como a série como:

3^ (1+1/2+1/4+1/8+...) =
3^(soma PG infinita onde a1=1 e q = 1/2) =
3^ (a1/(1-q) ) =
3^ (1/(1-1/2) ) =
3^ (1/(1/2) ) =
3^2 =

9

Kisses

=**

Answer 2

Não é para me vangloriar não, mas achei "minha" resposta mais elegante por ser mais concisa.
Obrigado pela lembrança, Vitor M

Answer 3

As respostas comentadas exprimem o mesmo raciocínio. Muda apenas a forma de apresentar. Uns são mais prolixos, outros, como eu, mas concisos. Em essência, não vejo como melhorar nenhuma das respostas, todas expressam o mesmo raciocínio.

Neste caso, dizer qual é a melhor é algo subjetivo.