Análise Matemática x Série Convergente x Série Divergente :Porque que somatorio de n variando de 1 ao infinito

Question

Porque que somatorio de n variando de 1 ao infinito de 1 / n² é Convergente ?
e
Somatório de n variando de 1 ao infinito de 1 / n é Divergente ?

Resposta do Steiner:
Uma forma fácil de vermos isto e pelo teste da integral.Os termos de Soma /n são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x >0 por f(x) =1/x. E os de Soma 1/n^2 são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x > 0 por g(x) = 1/x^2. Tanto f como g são positivas e decrescentes para em (0, oo). Nesta condições, as séries convergem se, e somente se, as integrais de 1 a oo das funções que as geram convergem.

Temos que Integral (1 a oo) f(x) dx = Integral (1 a oo) 1/x dx = ln(x) [ 1 a oo] = oo, pois ln(x) vai para oo com x. Logo, a série Soma 1/n (série harm|ônica) diverge.

Por outro lado, Int (1 a oo) g(x) dx = Int (1 a oo) 1/x^2 dx =- 1/x [1 a oo] = 1, pois 1/x tende a zero quando x -> oo. Logo, a séries 1/n^2 converge.

Há outros métodos para mostrar isso, no caso e Soma 1/n^2 podemos determinar o limite, é uma expressão envolvendo pi da qual agora não me lembro ...

No caso de séries do tipo Soma 1/n^p,podemos mostrar que divergem se p <=1 e convergem se p >1. Se p <0 a conclusão é imediata. Se p> 0, podemos aplicar o teste da integral.

Resposta do lord_ssa:
1/n² é uma p-série e converge, pois p = 2 >1, se p < 1 diverge,mas se p = 1 não se pode afirmar nada, logo podemos recorrer a outros metodos, nos aplicamos o teste da integral na série harmônica 1/n e obtemos que o limite = mais infinito, logo diverge já que o teorema relata que a série converge se, e somente se, aintegral impropria converge.

Como melhorar essas respostas para os aprendizes do yr ?

fim

Resposta do lord_ssa:
1/n² é uma p-série e converge, pois p = 2 >1, se p < 1 diverge,mas se p = 1 não se pode afirmar nada, logo podemos recorrer a outros metodos, nos aplicamos o teste da integral na série harmônica 1/n e obtemos que o limite = mais infinito, logo diverge já que o teorema relata que a série converge se, e somente se, aintegral impropria converge.
fim

Análise Matemática x Séries de Potências x Séries Convergentes x Séries Divergentes

fim

Como melhorar essas respostas para os aprendizes do yr ?

fim

Answer 1

Uma forma, talvez, de tornar mais didática a compreensão disto para quem ainda não viu integral é considerar um outro critério, bastante simples, e que se aplica a séries obtidas pela aplicação aos naturais de funções monotonicamente decrescentes e não negativas. Nestas condições, sabemos que Soma a_n converge se, e somente se, a série Soma 2^n a_(2^n) converge.

Vamos aplicar este critério à série Soma 1/n^p, com p>=0, obtendo a série

Soma 2^n (1/2^n)^p = Soma 2^n * 1/(2^np) = Soma 2^(n - np) = Soma 2^(n(1-p)) = Soma (2^(1-p))^n. Temos, assim, uma série geométrica de razão 2^(1-p), a qual sabemos convergir (divergir) se a razão tiver valor absoluto menor (maior ou igual) a 1. Se 0 <= p <=1, então 1- p >=0 e 2^(1-p) >=1, de modo que a série diverge. Por isso, Soma 1/n diverge. E se p >1, então 1- p <0 e 2 ^(1-p) <1, de modo que a série converge. Por isso Soma 1/n^2 converge.