Geometria x Triângulo : Dá-se um Triangulo ABC de lados a =15, b = 8 e c = 12. Sobre o lado "a" marca-se um po

Question

Dá-se um Triangulo ABC de lados a =15, b = 8 e c = 12. Sobre o lado "a" marca-se um ponto D, e, a seguir, liga-se o ponto D ao ponto A.
Fazendo-se DB = p, DC = q, e AD = x e sabendo-se que p / q = 1 / 2, Qual o valor de x ?

Resposta do Steiner:
Há um teorema, cujo autor no momento não me lembro (faz 30 anos que estudei geometria), que se aplica ao seu caso. Considerando-se os segmentos orientados, isto é, convencionando-se que DB = - BD, temos que:

(AB²) / (BD * BC) + (AD²) /(DB * DC) + (AC²)/(CD * CB) = 1
Com base nos dados fornecidos, temos então que

144/(p * 15) - x² / (pq) + 64/(q * 15) = 1
144/(15p) - x²(pq) + 64/(15 q) = 1 (1)
Além disto, temos que
p + q = 15
p/q = 1/2 => q = 2p
Assim, substituindo em cima
3p = 15 => p = 5 e q = 15 - p = 10 temos agora p e q definidos. Substituindo em (1), temos

144/75 - x² / 50 + 64/150 = 1 Multiplicando a equação por 150, para facilitar, chegamos a

288 - 3x² + 64 = 150 => 3x² = 202 => x = raiz(202/3) =~ 8,205689

Resposta do Carlos Homero:
Primeiramente , vamos encontrar o valor de (p) , ok ?

Como DB = p ---> DC = 15 - p = q

Mas p/q = 1/2 , então :

p/(15 - p) = 1/2 --> produto dos meios = produto dos extremos

2p = 15 - p

2p + p = 15 ---> 3p = 15 ---> p = 15/3 ---> p = 5

Temos : p = 5 e q = 15 - 5 = 10

Agora , para encontrarmos o valor de AD ( = x ) , podemos utilizar o Teorema de Stewart no triângulo ABC com os dados fornecidos :

c².q + b².p - x².a = a.p.q

Substituindo : c -->12 ; q -->10 ; b -->8 ; p -->5 ; a -->15 , na equação acima , teremos :

12².10 + 8².5 - x².15 = 15.5.10

144.10 + 64.5 - 15x² = 750

1440 + 320 - 15x² = 750

15x² = 1440 + 320 - 750

15x² = 1010

x² = 1010/15

x² = 67,333...

x = \/ 67,333...

x = 8,205689
fim

Comentários:
O segmento de reta AD é denominado CEVIANA do triângulo ABC , pois , é o segmento de reta que vai de um vértice (A) em direção ao lado oposto (BC). O ponto D , onde a ceviana encontra o lado oposto recebe o nome de PÉ DA CEVIANA . O nome ceviana é uma homenagem ao matemático João Ceva .

Como melhorar essas respostas ( ou soluções ) ?

fim

Answer 1

Ambas as respostas estão certas e não vejo como melhorá-las. Em problemas deste tipo, acho difícil apresentar uma solução mais simples. O Teorema de Stewart parece ser a solução natural.

O autor escolheu como melhor a resposta do Prof. Carlos Homero, que detalhou mais. Mas, sinceramente, não julgo que a resposta dele foi melhor do que a minha como a minha não seria melhor do que a de quem quer que apresentasse a solução baseada no teorema de Stewart. O prof. detalhou mais a resolução da equação. E deu a interessante informação- que eu desconhecia - de que o nome ceviana é em homenagem ao matemático João Ceva.