1 )Suponhamos que f: X--> R, X subconjunto de algum espaço Euclidiano, seja Lipschitz. Definamos como uma constante de Lipschitz qualquer real k > 0 tal que |f(x1) - f(x2)| <= k|x1 - x2| para todos x1 e x2 de X. Mostre que f possui uma menor constante de Lipschitz, isto é,sendo K = {k | k é constante de Lipschitz de f em X}, então ínfimo K pertence a K (é imediato que, sendo um conjunto de reais limitado inferiormente por 0, K possui ínfimo, mas me enrolei para mostrar que este ínfimo está em K. É também imediato que K não tem limite superior, pois se k é constante de Lipschitz, então todo k' > k também é).
2) Suponhamos que f:I --> R, onde R é um intervalo de R que contenha um aberto não vazio, seja derivável em I. Mostre que f é Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que k* = ínfimo {|f'(x)| : x está em I} é a menor constante de Lipschitz de f em I. Me enrolei na parte somente e para mostrar que k* é a menor constante de Lipschitz
2007-12-11
07:42:39
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2 respostas
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perguntado por
Anabela
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em
Matemática