Podem ajudar a provar que K é compacto?

Question

Mostre que um subconjunto K de R^n é compacto se, e somente se, toda função contínua de K em R for limitada. A parte somente é simples, funções contínuas em conjuntos compactos são limitadas pois f(K) é compacto (preservação da compacticidade). Me enrolei na parte se. Tentei me basear no Teorema de Heine Borel, mas não cheguei lá
Obrigada por qualquer ajuda

Answer 1

Só algumas sugestões, estou sem tempo. Use contraposição (uma costumeira saída quando temos o quantificador universal) e, como vc bem viu, o T. de Heine Borel (provar isso com base na definição por coberturas abertas não me parece uma tarefa fácil - não vejo como sair ). A idéia é mostrar que, se K não for compacto, então existe f;K --> R contínua e ilimitada.

Se K não for compacto, então o T. de Heine Borel diz que K não é limitado ou não é fechado.

Se não for limitado, então é possível achar em X vetores x nos quais o valor absoluto de pelo menos uma das componentes é arbitrariamente grande. Que tal a função que associa a cada vetor de X a soma dos valores absolutos de suas componentes?

Se K não for fechado, então K possui um ponto de acumulação a que não pertence a K. Que tal a função f(x) = 1/||x -a||, x em K?

Bonito problema!