Podem ajudar com funções Lipschitz?

Question

1 )Suponhamos que f: X--> R, X subconjunto de algum espaço Euclidiano, seja Lipschitz. Definamos como uma constante de Lipschitz qualquer real k > 0 tal que |f(x1) - f(x2)| <= k|x1 - x2| para todos x1 e x2 de X. Mostre que f possui uma menor constante de Lipschitz, isto é,sendo K = {k | k é constante de Lipschitz de f em X}, então ínfimo K pertence a K (é imediato que, sendo um conjunto de reais limitado inferiormente por 0, K possui ínfimo, mas me enrolei para mostrar que este ínfimo está em K. É também imediato que K não tem limite superior, pois se k é constante de Lipschitz, então todo k' > k também é).

2) Suponhamos que f:I --> R, onde R é um intervalo de R que contenha um aberto não vazio, seja derivável em I. Mostre que f é Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que k* = ínfimo {|f'(x)| : x está em I} é a menor constante de Lipschitz de f em I. Me enrolei na parte somente e para mostrar que k* é a menor constante de Lipschitz

Corrigindo: Em (2), onde I é um intervalo de R

Answer 1

Oi,

parece que a praga do sem tempo esta atormentando a todos no yahoo, mas a solução pro seu problema é:

1) Como f é Lipschtz, defina

. . . . . . . . .|f(x1) - f(x2)|
Ko=sup ------------------------
. . . x1≠x2 . . . |x1 - x2|

Por definição de Ko, ele está em K = {k | k é constante de Lipschitz de f em X} e como cada elemento de K é uma cota superior Ko=min K (lembre supremo é o minimo das cotas superiores). O 1) é só isso!!!

2) Esta é fácil é só aplicação do TVM no intervalo!! (mas acho que é: k* = sup {|f'(x)| : x está em I}
Note que |f(x1) - f(x2)| = |f'(c)| . |x1 - x2| para c entre x1 e x2.

Então
. . . . . . . . .|f(x1) - f(x2)|
Ko=sup -------------------- = sup |f'(c)|
. . . x1≠x2 . . . |x1 - x2|

Reciprocamente se f é lipschtz então
|f '(x)|≤ lim | f(x+h) -f(x)| /|h| ≤ C
. . . . . . h→0
Onde |f(x1) - f(x2)| ≤ C|x1 - x2|.

Abraço.

Answer 2

Questão interessante! Destaquei, assim como a outra sobre conjunto compacto. Hoje não vai dar, ajudo amanhã se não tiverem respondido até lá.
Na 2 há um equívoco, é sup, näo inf.