Porque que somatorio de n variando de 1 ao infinito de 1 / n² é Convergente ?
e
Somatório de n variando de 1 ao infinito de 1 / n é Divergente ?
Resposta do Steiner:
Uma forma fácil de vermos isto e pelo teste da integral.Os termos de Soma /n são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x >0 por f(x) =1/x. E os de Soma 1/n^2 são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x > 0 por g(x) = 1/x^2. Tanto f como g são positivas e decrescentes para em (0, oo). Nesta condições, as séries convergem se, e somente se, as integrais de 1 a oo das funções que as geram convergem.
Temos que Integral (1 a oo) f(x) dx = Integral (1 a oo) 1/x dx = ln(x) [ 1 a oo] = oo, pois ln(x) vai para oo com x. Logo, a série Soma 1/n (série harm|ônica) diverge.
Por outro lado, Int (1 a oo) g(x) dx = Int (1 a oo) 1/x^2 dx =- 1/x [1 a oo] = 1, pois 1/x tende a zero quando x -> oo. Logo, a séries 1/n^2 converge.
Há outros métodos para mostrar isso, no caso e Soma 1/n^2 podemos determinar o limite, é uma expressão envolvendo pi da qual agora não me lembro ...
No caso de séries do tipo Soma 1/n^p,podemos mostrar que divergem se p <=1 e convergem se p >1. Se p <0 a conclusão é imediata. Se p> 0, podemos aplicar o teste da integral.
2007-08-17
06:39:12
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perguntado por
vitor m
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Matemática