What proofs do you know for the arithmetic/geometric means inequality?

Question

There are several proofs. The one I like best is based on the inequality e^x >= x for every real x, with equality if, and only if, x = 0.

Answer 1

I will write in portuguese \o/

I will use induction

Queremos provar que :

Suposição: Média Aritmética >= Média Geométrica para todo n >=1

i)Caso Base: n = 1

Média Aritmética = x/1 = x
Média Geométrica = x^1/1 = x

x>= x (OK, satisfaz nossa suposição)

Passo de Indução:

ii)Suponha que para n-1 temos nossa suposição seja válida. Ou seja:

(1)1/n-1 * somatório de 1 a n-1 xi >= raiz n-1 de produtório de i = 1 a n-1 xi

Queremos provar para n termos que :

(2)1/n * somatório de i=1 a n xi >= raiz n de produtório de i=1 a n xi

que podemos escrever como:

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi + xn ) >= raiz n de (produtório de i=1 a n-1 xi * xn)

Fazendo xn = q = raiz n-1 de produtório de 1 a n-1 xi, temos:

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi +q ) >= raiz n de (produtório de i=1 a n-1 xi * q)

Note que:

produtório de i=1 a n-1 xi * q = q^n-1*q = q^n, e assim:

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi +q ) >= raiz n de (q^n)
1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi +q ) >=q

Usando a propriedade de somatório:

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi + somatório de i=1 a n-1 q ) >=q

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi + (n-1)* q ) >=q

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi + (n-1)* q ) >=q

1/n*(somatório de i=1 a n-1 xi + (n-1)* q ) >=q

1/n * (somatório de i=1 a n-1 xi ) + 1/n *(n-1)* q > = q

1/n * (somatório de i=1 a n-1 xi ) + (n-1)/n* q > = q

1/n* (somatório de i=1 a n-1 xi ) > = q - (n-1)/n* q

1/n* (somatório de i=1 a n-1 xi ) > = [1 - (n-1)/n]* q

1/n* (somatório de i=1 a n-1 xi ) > = [n - n+1/n]* q

1/n* (somatório de i=1 a n-1 xi ) > = 1/n* q

(somatório de i=1 a n-1 xi ) > = q

Como q = raiz n-1 de produtório de 1 a n-1 xi:

(somatório de i=1 a n-1 xi ) > = raiz n-1 de produtório de i=1 a n-1 xi

que observamos que corresponde a equação (1), que assumimos como verdadeira.

Assim, por i e ii, e por indução , mostramos que:

Média Aritmética >= Média Geométrica para todo n >=1

Kisses

=**

Answer 2

Ours, Matematica and Geometria. I am very weak. But adimiro who is good... I wrote certain?

Answer 3

(x-y)^2>=0
x^2-2xy+y^2>=0
x^2+2xy+y^2>=4xy
(x+y)^2>=4xy
For x,y>=0, this implies
x+y>=2sqrt(xy)
(x+y)/2>=sqrt(xy)