尤拉線怎麼用西瓦定理和幾何方法證明

Question

尤拉線怎麼用西瓦定理和幾何方法證明
尤拉線怎麼用西瓦定理和幾何方法證明

Answer 1

有一三角形ABC，點O、G及H分別為△ABC的外心、重心及垂心。點D、E及F分別在BC、CA及AB上，使AHD、BHE及CHF分別成一直線。點J、K及L分別在BC、CA及AB上，使AGJ、BGK及CGL分別成一直線。證明OGH成一直線。



註：該直線被稱為歐拉線




圖片參考：http://yll.loxa.edu.tw/jpg/a/03110411101214.gif

圖片參考：http://yll.loxa.edu.tw/jpg/a/03110411102438.gif

延伸CO到M，使COM為外接圓O的直徑，點P及Q分別是GA及GH的中點。連MA、MB、MO、OJ及PQ。



COM是一直徑 (已知)

∴∠MAC=∠MBC=90° (半圓上的圓周角)

AHD⊥BC (垂心性質)

BHE⊥CA (垂心性質)

∴MB//AH (同位角相等)

∴MA//BH (同位角相等)

∴AMBH是一平行四邊形 (根據定義)



CJ=JB (重心性質)

CO=OM (半徑)

∴2OJ=MB (中點定理)

∴OJ//MB (中點定理)

∵MB=AH (平行四邊形對邊)

∴2OJ=AH

∴OJ//AH

GQ=QH (已知)

GP=PA (已知)

∴2PQ=AH (中點定理)

∴PQ//AH (中點定理)

∴OJ=PQ

∴OJ//PQ



∵OJ//PQ (已證)

∴∠GOJ=∠GQP (錯角，OJ//PQ)

OJ=QP (已證)

∴∠OJG=∠QPG (錯角，OJ//PQ)

∴△JGO≡△PGQ (ASA)

∴∠JGO=∠PGQ (全等三角形的對應角)

∠JGQ+∠PGQ=180° (直線上的鄰角)

∴∠JGQ+∠JGO=180°

∴OGQ成一直線

∴OGH成一直線當中已包括證明了2OG=GH，2OJ=AH