[數學]證明題,請高手幫幫忙

Question

Show that (1+x)^(1/2) < 1+(1/2)x if x>0

我已經知道其中一種方法了

Let g(x)=(1+x)^(1/2) -(1/2)x -1
=> g'(x)=(1/2)*(1+x)^(-1/2) -(1/2) <0 and g'(0)=0
所以 g(x)=(1+x)^(1/2) -(1/2)x -1 >0
故 (1+x)^(1/2) < 1+(1/2)x 成立

請給其他解法
謝謝

To 煩惱即是菩提:

抱歉修正一下
g'(x)=(1/2)*(1+x)^(-1/2) -(1/2) >0
謝謝你的提醒

Answer 1

(法一:平均值定理)
設f(x)=(1+x)1/2 ,則x>0時f(x)為可微分函數，滿足平均值定理
且f'(x)=1/2*(1+x)-1/2=1/2*1/(1+x)1/2 ,
=>存在c介於0與x之間,使得
[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(c),即
[(1+x)1/2-1]/x=1/2 * 1/(1+c)1/2 < 1/2
(同乘以x)=>(1+x)1/2 -1 < x/2
故(1+ x)1/2<1+x/2 , x>0
(法二:平方比大小)
(1+x)1/2與1+x/2, x>0,均為正數, 故平方比大小即可
[(1+x)1/2]2=1+x
(1+x/2)2=1+ x+x2/4 > 1+x
故(1+x/2) > (1+x)1/2

2007-12-31 19:31:59 補充：
你的證法,以導函數來判斷遞增遞減,很好!但有點筆誤喔!
所以 g(x)=(1+x)^(1/2) -(1/2)x -1 < 0 (不是>0)

Answer 2

提供一個不等式

白努力不等式
x>-1

(1)0<1時，(1+x)^a≦1+ax

(2)a<0或a>1時，(1+x)^a≧1+ax