問工數(convolution)問題~~解不太出來~~~>

Question

我解不出來!!!!!!
請高手幫忙~~~
convolution的問題
題目:
f(t)=e^(-t) , g(t)=sin(t) , 用定義求f*g..

f*g=∫e^(-t+τ) sin(τ)dτ

之後我就不會寫了!!!

最後答案: 1/2[sin(t)-cos(t)]+1/2e^(-t)


請大大寫計算過程給我看~~~

我會非常感謝!!!!

我想再請問大大...filtering property的問題....

就是f(a)=∫f(t)σ(t-a)dt 範圍是0到無限大

那為什麼當範圍改成-∞到∞也可以用這個性質??.....

那範圍為0到2時ㄋ????

filtering property我一值都搞不懂它的意義!!!我隻到它是要求那ㄍ函數的面積但還是很不懂...............

Answer 1

f*g(t)=∫0t e-t+τsin(τ)dτ
= e-t∫0t eτsin(τ)dτ (對τ積分, t為定數, et可以提出)
= e-t * (1/2)(eτsinτ- eτcosτ) | 0t (Integration by parts或查積分表)
= e-t * (1/2) [ et(sint - cost) + 1]
= 1/2*(sint - cost + e-t)