有關高微INTEGRATION的問題

Question

A function f: R映成到 R is said to be periodic p if f(x+p) = f(x)

for all x. Assuming that f is continurous and periodic with period p,

show that, for all a,

f(x)dx{從 a+p 積分到 p} = f(x)dx{從 p 積分到 0}

麻煩順便幫我翻譯一下題目

謝謝!

菩提謝了
我的確筆誤

不過 a+p 在上 a 在下
p 在上 0 在下

菩提你的第二跟第三行的第三項

是怎麼轉換的阿? ( x 變成 x+p )

請問法蘭克∫_[x,x+p] f(t)dt

的底線有什麼意思嗎?

Answer 1

意思是周期p的函數，在任意一個周期p內做積分[a,a+p]，其值均相等。

証明:令 F(x) = ∫_[x,x+p] f(t)dt，由於f(x)是連續函數，由微積分基本定理可知，F(x)為可微分函數。並且，對任意的點x，其微分
F'(x) =f(x+p)-f(x) = 0。
由均值定理可知，F(x)為常數函數。因此F(a)=F(0)，對任意的實數a均成立。所以就証明了你所說的事。

Remark:
1.均值定理: F(x)-F(y)=F'(c)(x-y)，其中c屬於[x,y]。
2.如果F(x)=∫_[g(x),h(x)] f(t)dt，由連鎖律可知，F'(x)=f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x)。

2008-01-01 16:44:09 補充：
建議你可以把標題改成周期函數的積分。
我把我的証明寫在部落格，煩請來閱讀。
http://www.wretch.cc/blog/franz&article_id=9407840
有問題可以儘管發問。

Answer 2

∫aa+p f(x)dx (分段積分)
=∫a0 f(x)dx + ∫0p f(x)dx + ∫pa+p f(x)dx
= -∫0a f(x)dx + ∫0p f(x)dx +∫pa+p f(x+p)dx
= -∫0a f(x)dx + ∫0p f(x)dx +∫0a f(u)du ( u=x+p, du=dx)
= -∫0a f(x)dx + ∫0p f(x)dx +∫0a f(x)dx (定積分之積分變數可更換)
=∫0p f(x)dx
上下限互換就與你的題目相符了! OK!?

你的題目是否筆誤了?! ∫a+p p f(x)dx 不會是 ∫p0 f(x)dx
應該是∫a+pa f(x)dx = ∫p0 f(x)dx



2007-12-30 23:49:19 補充：
第2行至第3行f(x)改為f(x+p),是週期函數f(x+p)=f(x)!
OK!?