正六邊形轉動慣量積分

Question

轉動慣量定義：一質點的質量M，到轉軸距離R，則其轉動慣量
I=MR^2

而今有一個正六邊形的薄(忽略厚度)金屬片，質量M，邊長R
若以通過其幾何中心垂直金屬片的直線為轉軸，則其轉動慣量I=？

能不能用"黎曼和"再轉成"積分"教我怎麼做




我目前只會積出線型(細長棒)的轉動慣量
二維面積的方法還不太會

老實說我到現在還是不知道為什麼可以這樣做...

能不能敎我用黎曼和再轉成積分

Answer 1

詳解請參考瀏覽以下網站

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=laotseng&b=3&f=1815495827&p=7

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=laotseng&b=3&f=1815495828&p=8

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=laotseng&b=3&f=1815495829&p=9

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=laotseng&b=3&f=1815495830&p=10

2007-12-29 01:54:09 補充：
首先謝謝網友”煩惱即是菩提”的耐心檢查。 我並重復核對我的演算，並未發現任何差錯線索。 我又查尋了一般的動力教科書中的標準常用形狀轉動慣量表，
並且再演算一次，證明演算結果是相同的如下。
等邊三角形(對質心的慣性)
Ixx = p(1/36)R*[(√3/2)R]^3 = p(√3/96)R^4 = (1/24)m*R^2
Iyy = p(1/48)[(√3/2)R]*R^3 = p(√3/96)R^4 = (1/24)m*R^2
(p 是物質密度)
所以

2007-12-29 01:54:41 補充：
Izz = Ixx+Iyy = (1/12)m*R^2
再運用平行軸定理，我們可以獲得:
I = Izz + m*[(2/3)( √3/2)R]^2
= (1/12)m*R^2 + (1/3)m*R^2
= (5/12)m*R^2

我用匿稱老曾。絕對沒有意圖佔人便宜，絕不以老賣老。

2007-12-30 07:54:37 補充：
終於我發現了在那裡什麼部分造成混淆或盲點。我應該使用M=6m代表六角形總質量; 而不該使用六個等邊三角形質量6m。 參見我最近更新的網頁：
http://www.wretch.cc/album/album.php?id=laotseng&book=5
謝謝網友”煩惱即是菩提”的提醒。

Answer 2

老曾：
您的名號是用來佔人便宜的嗎? 哈哈!
密度算錯了喔!

2007-12-29 17:20:54 補充：
1. 密度的質量的搭配錯了, OK!
2. 圓(disk)的轉動慣量也才 mR²/2
3. 本題答案是 5mR²/12吧!