請教一題應用數學(BETA分配)問題

Question

在BETA分配圖型中，欲求內接最大矩形面積與X軸交點之值

假設a=4、b=2，則BETA方程式為f(x)=105*(X^4)*(1-X)^2

目前可知此矩形與X軸交於0.471及0.829兩點，但不知其計算過程

從資料中只簡單說明是從EXCEL求得

希望各位高手能幫忙解答 感謝!

Answer 1

設矩形左邊x坐標為t, 則右邊x坐標滿足
x4(1-x)2=t4(1-t)2 , 0 =>x2(1-x)=t2(1-t)
=>(x-t)[x2-(1-t)x+t2-t]=0
=> x= t (不合), [1- t+√(1+2t-3t2)]/2 '得右端x坐標
=> 矩形寬=[1- 3t+√(1+2t-3t2)]/2, 高=105t4(1-t)2
=> 矩形面積A(t)=105t4(1-t)2[1- 3t+√(1+2t-3t2)]/2 , 0 解A'(t)=0 (求 t 即可)
A'(t)=0=>(化簡)(21t2-21t+4)√(1+3t)+(4+8t-24t2)√(1-t)=0


數值解法得: t=0.471327, 0.829183 , 面積=0.518276

Answer 2

令一點為 u, 另一點為 v, 則 f(u)=f(v), 即 u^4(1-u)^2 = v^4(1-v)^2.

此時面積
　 A = (v-u)f(u) = 105(v-u)u^4(1-u)^2
maximize A, subject to u^4(1-u)^2 = v^4(1-v)^2.
用 Lagrange 方法求解.