勘根定理求實根

Question

最近老師給我一個題目 苦思不解

x三次方-8x+1=0

求實根解?

由於"代數基本定理" 三次方的方程式 必有三解

又"虛數成對定理" 所有三解的可能性為

三實根 或 二虛根 一實根

但我只能約略做出這樣的推論 卻算不出答案

不曉得怎樣算 這是高一上的題目 我很想解出來 我問老師

他跟我說 會運用到勘根定理 但我們還沒教 我自己看又看不懂

有人懂得嗎?

TO 統計老兵yhliu(分)

這種算法 我在課本看過 但真的只能做到這樣嗎?

沒有一定的數字可求嗎?

我在 國立台中一中 九十一學年度資訊能力競賽試題

看到 請用任何一種語言撰寫程式碼，利用多項式勘根定理，求方程式x3-7x+4=0 在2，3 之間的實根?

這種題目

就是運用電腦的力量來計算嗎?

如果真的要用 微積分 怎算?

TO BBH˙甘地

明天再給答案 其實對我而言 根本一點意義也沒有

因為明天我就需要

根與係數嗎? 嗯~~ 不懂

T0 BBH˙甘地

根與係數不能求這種題目

我算過好幾次了 也請教過老師


TO 煩惱即是菩提

你的回答 已經很接近最佳解答了 只是有些過程 你省略了

害我花了一番功夫 不過到這裡 我就真的看不懂了

u=a, aω, aω2 , ω=(-1+i√3)/2 (主要看不懂這行 ω怎樣求出的)
v=8/(3u)=8/(3a), 8/(3aω), 8ω/(3a)
=> x = a+8/(3a), aω+8/(3aω), aω2+8ω/(3a)

問個更精確是 ω=(-1+i√3)/2 我知道 但為何應用到這裡

Answer 1

1. 求近似根方法很多,最基本的是前述的勘根定理(二分法或十分法)或牛頓法
2. 依版主題意是想求得正確解吧!
先聲明,答案並不漂亮!
解法如下:
設x=u+v代入x3-8x+1=0 => u3+v3+(3uv-8)(u+v)+1=0 --(A)
設 3uv-8=0 => v=8/(3u) 代入(A),則
u3+512/(27u3)+1=0 => 27u6+27u3+512=0
公式可得u3= (-9i√6063)/18 (任取一個即可,效果相同)
設a3=(-9+i√6063)/18 =>
u=a, aω, aω2 , ω=(-1+i√3)/2
v=8/(3u)=8/(3a), 8/(3aω), 8ω/(3a)
=> x = a+8/(3a), aω+8/(3aω), aω2+8ω/(3a)
註:(1)此題3根均為實根
(2)這麼難看的根,是否嚇到? 找個簡單的試試, 如x3-2x-4=0
(3)so,實用上都採用近似根


2007-12-28 01:54:11 補充：
u³=a³ => u= a, aω, aω²
或(u-a)(u²+au+a²)=0=> u=a, aω, aω²
OK!?

To:BBH.甘地
以上可是結實地求解,沒代三次的公式解喔!

Answer 2

堪根定理,我大概說一下他的原理,所謂堪根定理,是若干x值帶入方程式,利用所得到結果之正負,判斷其"實根"的有無或是範圍.(我是就我所學的堪根定理敘述,不盡完整請大大不吝指證)

你的題目: x^3 - 8x + 1 = 0 (^是次方符號)
我設f(x)= x^3 - 8x + 1

所以:

f(1) = -6
f(-1) = 8
f(-2) = 9
f(-3) = -2

觀察上面,
會發現其必定有至少兩個實根且分別落在 1 ~ -1 之間和 - 2 ~ - 3 之間.
為什麼呢?這就堪根定理的運用,
我們把f(x)= x^3 - 8x + 1 的圖型畫在xy座標平面,你所代入的x值使得f(x)出現一正負不同,這表示在那兩個x值之間,其圖型必越過x軸(這樣才會出現一正一負).
所以呢?
在那兩個x值之間,其圖型必越過x軸
表示一定有至少一個實根(也就是說再兩個x值之間至少會有一個x帶入會使得f(x)= 0,也就是他的解)
注意:是"至少"一個實根
這就是堪根定理的用法(高中啦)
再來繼續看你的題目
我們在多代幾個值

f(3) = 4
f(2) = -7
f(1) = -6
f(-1) = 8
f(-2) = 9
f(-3) = -2
觀察一下,發現了什麼?
發現 f(x)= x^3 - 8x + 1 在 2 ~ 3, - 1 ~ 1, - 2 ~ - 3, 都"至少各有一實根"
又
根據你所學的:
"由於"代數基本定理" 三次方的方程式 必有三解

又"虛數成對定理" 所有三解的可能性為

三實根 或 二虛根 一實根"

因此可以推斷
x^3 - 8x + 1 = 0 必有3個實根


可以試試根與係數的方式找答案....似乎有點不好解..
我剛用牛頓定理弄了一下...似乎三根都不完全是有理數..
明天再來補充完整答案

2007-12-26 23:14:32 補充：
關於3次方程式根與係數:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507011207465
適用於實係數方程式
得到
(設三根為a,b,c)
得到:
a + b + c = 0
ab + bc + ca = -8
abc = -1
解出即可...........說的簡單......
上面有說過...三根應該都不是有理數......
這是目前我能想到的方法....(很難解)

2007-12-26 23:14:33 補充：
關於3次方程式根與係數:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507011207465
適用於實係數方程式
得到
(設三根為a,b,c)
得到:
a + b + c = 0
ab + bc + ca = -8
abc = -1
解出即可...........說的簡單......
上面有說過...三根應該都不是有理數......
這是目前我能想到的方法....(很難解)

Answer 3

勘根定理應用於多項式方程式:
　設 f(x) 是多項式.
　若 f(a)f(b)<0, 則有一個 c 介於 a, b 之間, 使 f(x)=0.

本例 f(x)=x^3-8x+1.
則 f(0)=1>0, f(1)=-6<0. 故在 0 與 1 之間有一根.
又: f(-3)=-27+24+1<0, f(-2)=-8+16+1>0, 故 -3 與 -2 之間也有一根.
再者, f(2)=8-16+1<0, f(3)=27-24+1>0, 故 2與3之間也有一根.

當然, 只要解得其中一根, 把三次方程式降階為二次, 即可套用
二次方程式公式.

假設欲解介於 0 與 1 之間那個根, 用勘根定理求數值解,
取中點 (0+1)/2=1./2.
f(1/2) = 1/8-8(1/2)+1 < 0, 故根在 0 與 1/2 之間.
再取中點 1/4, 得 f(1/4)=1/64-2+1<0. 故根在 0 與 1/4 之間.
f(1/8) = 1/512 - 1 + 1>0, 故根在 1/8 與 1/4 之間, 其中黠為 3/16.
f(3/16) = 27/4096 - 3/2 + 1 < 0, 故根在 1/8 與 3/16 之間.
取中點 (1/8+3/16)/2 = 5/32,
f(5/32) = 125/32768 - 5/4 + 1 < 0, 故根在 1/8 與 5/32 之間.
以此類推, 算至所要的精確度為止.

此法收斂慢, 手算如我做的, 太辛苦, 用電腦計算尚可.

以後學了微積分之後, 有更好, 收斂較快的方法, 例如牛頓法.

2007-12-28 00:59:32 補充：
f(x)=x^3-8x+1.

牛頓法迭代公式:
x(n+1) = x(n) - (x(n)^3-8x(n)+1)/(3x(n)^2-8)

由 x(0)=0 開始,
x(1) = 0 - (1)/(-8) = 0.125
x(2) = 0.125 - (0.125^3 - 8(0.125)+1)/(3(0.125)^2-8)
　　= 0.125 + 0.0002456 = 0.1252456
x(3) = 0.1252456 - (0.1252456^3 - 8(0.1252456)+1)/(2(0.1252456^2)-8)
手算真的太麻煩, 就不算了! 不過, 本例算到 x(3) 應已是不錯的近似.

2007-12-28 01:10:38 補充：
(x)=x^3-8x+1.
也可以化成 x=g(x) 形式的方程式, 直接迭代.
如 x = (x^3+1)/8.
本例取 x(0)=0, 則
x(1) = 1/8 = 0.125
x(2) = (1/8^3 +1)/8 = 513/4096 = 0.12524414
x(3) = (0.12524414^3+1)/8 = 0.125245574
手算或許有算錯也說不定. 不過, 看來已接近 0 與 1 之間那個根.
本例這個迭代法的效率似乎也比二分法好!

2007-12-28 01:24:10 補充：
"2007-12-28 01:10:55 補充" 的 "(x)=x^3-8x+1" 應為
"f(x)=x^3-8x+1" 之誤.

由多項式方程式根的 "符號律" 可知 x^3-8x+1=0 有一個負根,
0 或 2 個正根. 已知一根在 0 與 1 之間, 因此可知是一負二正根.

由勘根定理可找出另二根, 一在 -2 與 -3 之間, 一在 2 與 3 之間.

以 x=(x^3+1)/8 迭代, 起點用 2 會收斂到 0 與 1 之間的那個根,
用起點 3 似乎會發散掉?