利用對數計算位數的迷思

Question

事實上，log3約等於0.4771。
設k=12.5755，求3^k之整數部份是幾位數？
不限定用筆算。

6位數！果然是我預料中的答案。^^

別忘了12.5755*0.4771恰好等於5.99977105，是一個有限小數喔！

Answer 1

有關指數與對數取有效位數的規定如下:
1. log(X)中如果X是測量值,log(X)的位數等於X的位數.如果X是真實值,則log(X)有無限個有效位數.
2. 10x的有效位數以x中小數點以後的位數為準.
在這裡3是個真實值,log(3)的有效位數為無限,所以12.5755*log(3)的有效位數以12.5755的有效位數為準(6位),12.5755*log(3)=5.99977.再來的105.99977的有效位數以5.99977小數點以後的位數為準,是小數點以後5位,所以105.99977=105*100.99971=9.99471*105.一共是6位有效數字.
參考資料:
http://www.wellesley.edu/Chemistry/stats/sigfig2.html
http://quantum.bu.edu/notes/GeneralChemistry/a-1-SignificantFigures.pdf

Answer 2

log3=0.47712125471966243729502790325512
12.5755*0.47712125471966243729502790325512
=6.0000383387271149802036233973847
3^12.5755=1000088.2820781726497021642335203
註:第一行第四行皆為近似值

Answer 3

煩惱即是菩提：
不對，k*log3=6.00003.......
畫蛇添足厚！

你只要證明k*log3大於6就好了。
k*log3>12.5755*0.47712=6.00002256>6

事實上，3^k的整數位是1000088。

2007-12-26 05:23:33 補充：
統計老兵yhliu：
12.5755*0.4771= 6.000(四捨五入)並不尷尬，也無不幸，世上沒有這麼巧合的事，這是為了這種題目特別訂做的。
6/log3 < 12.5755 < 6/0.4771
(註：在這個不等式裡，0.4771就是剛好0.4771，不是近似值，不是四捨五入，它就是一個有限小數)

2007-12-26 20:18:22 補充：
就是因為不能當作大於6或小於6的證據，才故意設定12.5755次方呀！
我說了：6/log3 < 12.5755 < 6/0.4771
製造這種題目，就是要在這狹窄的範圍內，這數字是設定過的。

不過你也不必精確到小數點後6位呀！5位就夠了吧！？
log3=0.4771212547......，小數點後5位以後無條件捨去，
故log3>0.47712
故12.5755*log3>12.5755*0.47712=6.00002256>6
故12.5755*log3>6

2007-12-26 20:30:02 補充：
我如果不知道log(3)≠0.4771，我如何得出12.5755這個矯揉的數呢？

Answer 4

log 3k=k*log3≒12.5755*0.4771=5.99977105
5.99977105與整數6之差距=0.00022895
而log3=0.4771為近似值,更精確值為log3=0.47712...
誤差0.00002...*12.5755=0.00025...
因此k*log3=5.99977105+0.00025...=6.00002...整數位數為6
故3k之整數部份為7位數

Answer 5

將3^k直接取對數

=> ㏒(3^k)

根據對數性質：次方<=>倍數

∴ ㏒(3^k) = k㏒3 =12.5755*0.4771 = 5.999....

而 位數 即為 (整數值+1)

例：㏒(10000) = 4 一萬有5位數，取對數之後整數值為4


所以 3^k 的位數有 (5+1) = 6 位數＃