最大最小值

Question

令a,b,c為實數 且已知 a^2+b^2+c^2=3

求a^3+b^3+c^3-3abc之最大值與最小值

(a, b, c)=(-1/√3, 2/√3, 2/√3)
是唯一的最大值解嗎?

Answer 1

設 ab+bc+ca=x
1. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=3+2x
=>x>=-3/2, a+b+c=√(3+2x)
2. a2+b2+c2-(ab+bc+ca)=1/2 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]>=0
=> 3-x>=0 => x<=3
故-3/2<=x<=3
3. a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=√(3+2x) * (3-x)
4. 探討 f(x)=√(3+2x) * (3-x), -3/2<=x<=3即可得解
f'(x)=(3-x)/√(3+2x) - √(3+2x)
= -3x/√(3+2x)
=>x>0時 f'(x)<0=> f(x)遞減, x<0時f(x)遞增
=>x=0時 f(x)為最大值=f(0)=3√3
5. a3+b3+c3-3abc最大值=3√3, 最小值=-3√3

註:選擇(a, b, c)=(-1/√3, 2/√3, 2/√3)時可得最大值, 全部變號可得最小值



2007-12-26 16:25:51 補充：
有無限多解
(a, b, c)=(√3, 0, 0)或(-1/√3, 2/√3, 2/√3)任意排列均為解
還有很多很多解