圓與六邊形的面積問題，幫幫我

Question

請問

在直徑12公分的圓周上，劃一個最大的六邊形，此六邊形面積為多

少？

謝謝指導

Answer 1

圓內接六邊形，以正六邊形面積最大。
面積的計算，剛好可以用我在這題的部分結論。
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1007122101581


設正n邊形周長為k，面積為A，則n,k,A有下列關係：
A=k2/(4n)*cot(180度/n)


圓內接正六邊形周長=3*直徑=3*12=36
面積A
=k2/(4n)*cot(180度/n)
=1296/24*cot30度
=54*√3
=54√3
上述公式證明如下：

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/119834415254/

如上圖，P,Q為此正n邊形相鄰的兩頂點，O為其外接圓圓心，
連接線段PO,QO,PQ，過O作線段PQ的垂線，垂足為R，
則原正n邊形面積A=n*三角形POQ面積，
PQ=k/n，PR=(1/2)PQ=k/(2n)
∠POQ=360度/n， ∠POR=(1/2)∠POQ=(1/2)*360度/n=180度/n
OR=PR*cot∠POR=k/(2n)*cot(180度/n)



圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/119851467685/


2007-12-25 01:05:04 補充：
上標功能又出了點毛病。

設正n邊形周長為k，面積為A，則n,k,A有下列關係：
A=k^2/(4n)*cot(180度/n)

此題答案是54√3平方公分。

Answer 2

在直徑12公分 的圓周上，劃一個最大的六邊形，此六邊形面積為多少？
解: 正三邊形，邊長:a，面積=(√3/4)a2 4分之根號3的a平方
六邊形=6個小三角形
=6*(√3/4)a2
=6*(√3/4)(6)2
=54√3(平方公分) 答: 54√3平方公分

Answer 3

半徑= 6cm
一個六邊形等於六個正三角形(對角線聯接起來)
正三角形三個邊都一樣長
所以一個正三角形的面積3*3√3*6=18*3√3= 54√3(㎝*㎝)

Answer 4

1. 越接近圓形,面積越大
2. 本題以圓內接正6邊形面積最大
3. 最大面積=6個正 △面積=6*1/2*6*6*sin(π/3)=54 √3 cm2