斜率求切線方程

Question

求斜率-1，圓x^2+y^2-6x-4y+5=0的切線方程式。

看到這一行字我有想到用微分法
首先先對f(x，y)作偏微分，之後相加變成全微分
=>(df)/(dx)+(df)/(dy)=D/(Df)=(2x-6+2y-4) dy/dx =0
則斜率m=dy/dx=-(x-3)/(y-2)
(請問我這樣想對嗎？)

依照題目給的=> -(x-3)/(y-2)=-1

求得x+y-1=0


但是正解有第二條線 ：x+y-9=0
也就是截距的差異而已...但是要怎麼求出這條線啊？
還是說用微分法有這缺點？

Answer 1

(df)/(dx)+(df)/(dy)=D/(Df)=(2x-6+2y-4) dy/dx =0 ???(很多符號錯)
應該是 2x-6 + (2y-4) dy/dx =0 => dy/dx = - (x-3)/(y-2)
即曲線(圓)上點(x,y)處切線斜率= - (x-3)/(y-2)
本題你的作法應是: 找出圓上哪一個(或哪些)點(x,y), 使 -(x-3)/(y-2)=-1
=> x-y=1 (並非你所言: x+y-1=0)
而x-y=1並不是題目所要的切線, 它只表示曲線上滿足x-y=1之點即為所求
因此還要將x-y=1與曲線x2+y2-6x-4y+5=0聯立求得點(x,y) (有兩點)
再用點斜式才得所要的切線!
註: 此法求圓的切線並不好用!
另法求切線:
設切線為 y=-x+b 即 x+y-b=0
圓心(3,2)與切線距離=半徑√8
=> | 5-b |/√2 = √8 => b=1 或 9
故切線為 x+y=1或x+y=9

Answer 2

求斜率-1，圓x^2+y^2-6x-4y+5=0的切線方程式。
解:圓(x-3)2+(y-2)2=8，圓心(3，2)，半徑r=2√2,
設切線方程式: x+y+c=0
切點到圓心的距離=半徑r ………..請見下面公式
(3+2+c)/√2=2√2, c=-1或-9
故切線方程式x+y-1=0或x+y-9=0
答: x+y-1=0或x+y-9=0

☆點到線的距離公式(m，n)到ax+by+c=0的距離=√(a2+b2)分之/am+bn+c/

Answer 3

這題我會先把圓方程式寫為　
（ｘ－３）^2＋（ｙ－２）^2＝８
圓心ｏ＝（３，２）　半徑ｒ＝更號８
再來是斜率＝－１
可寫為ｙ＝－ｘ＋ｂ
　＝＞ｘ＋ｙ－ｂ＝０

因為是求切線方程式　所以圓心ｏ點到線的距離會＝半徑
以點到線的距離就可以求得
　｜５－ｂ｜＝４
＝＞５－ｂ＝±４
＝＞ｂ＝９ｏｒ１
防程式就為
ｘ＋ｙ－９＝０或ｘ＋ｙ－１＝０



這是我的解法　給你參考看看　

Answer 4

給 愛 上女主播:

玄葉的意思是為什麼用微分的方式僅得一條切線。

不是要求切線。

Answer 5

把 x2+y2-6x-4y+5=0
改寫成圓的標準型式 : (X - 3 ) 2+ (Y - 2) 2= (2√2 )2
可得圓心 坐標 ( 3 , 2 ) 半徑 = 2√2 ,
另假設此切線方程為 y = - x + b , → x + y - b = 0
再代入一點( 圓心 ) 到 直線距離的公式
∣ax1 + by1+ c∣/ √( a2 + b2 ) = r
∣3 + 2 - b ∣ / √2 = 2 √2
∣ 5 - b∣ = 4
5 - b = 4 或 - 4 , b = 9 或 1
可得此切線為 x + y - 1 = 0 , 或 x + y - 9 = 0






2007-12-24 23:53:05 補充：
註:亂碼的地方是絕對值符號.