三角形內心外心連心線長問題

Question

若一三角形內切圓半徑r,外接圓半徑R,兩心的連線長d
試証: d^2 = R^2 - 2Rr
謝謝!
另外我想問一下, 是否在空間中也有類似的情況產生,也就是
若一四面體內切球半徑r,外接球半徑R,兩心的連線長d,
d是否也有與R,r相關的關係式? 如果有,該如何證明?
感激不盡!

To: 煩惱即是菩提
謝謝你提供這個幾何証法...
老實說...我覺得這個問題應該會有更直觀的方法...(不過我還沒証出來ˊˋ)

就我的觀察...d^2 = R (R- 2r) , 感覺很像 切割線定理 的形式
也就是說如果將內切圓平移到與外接圓相內切, 只要證明出外心到"平移後的內切圓"的切線段長 = d , 那麼由切割線定裡就可以得証d^2 = R (R- 2r)
至於那個平移後的內切圓如何決定......因為 d^2 + r^2 = (R - r)^2
所以我作一條直線垂直於連心線且通過內心,交內切圓於一點, 則該點即為平移後的內切圓圓心(半徑與原內切圓同),不過問題就在於,如何證明 平移後的圓會與外接圓相切...

我相信如果從這裡切入應該會有更漂亮的做法

Answer 1

圖片參考：http://math.ntut.edu.tw/typer/2circle.jpg

或參考http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740479857&p=11
1. 內心I,外心O, OA=R, IF=r,∠OAI= t = A/2+B-π/2 , cost=sin(A/2+B)
OI= d, s=(a+b+c)/2, AF= s-a, 設AI=x=√[r2+(s-a)2]
2. △OAI中, 餘弦定理:
d2=R2+x2 - 2Rxcost
=R2+x2 - 2Rx[sin(A/2)cosB+cos(A/2)sinB]
=R2+x2 - 2RrcosB - 2R(s-a)sinB 註:xsin(A/2)= r, xcos(A/2)= s-a
=R2+x2 - 2RrcosB - b(s-a) 註: b/sinB = 2R => 2RsinB=b
=R2+r2+(s-a)2 - 2RrcosB -b(s-a)
=(R-r)2 + 2Rr(1- cosB)+(s-a)(s-a-b)
=(R-r)2 + 2Rr[b2 - (a-c)2]/(2ac)] - (s-a)(s-c) 註:餘弦定理
=(R-r)2+4Rr(s-a)(s-c)/(ac) - (s-a)(s-c)
=(R-r)2+b(s-a)(s-c)/s - (s-a)(s-c) 註:△= rs=abc/(4R)=>4Rr/(ac)=b/s
=(R-r)2 - (s-b)(s-a)(s-c)/s
=(R-r)2 - s(s-a)(s-b)(s-c)/s2
=(R-r)2 - △2/s2 = (R-r)2 - r2 = R2 - 2Rr 註: △= rs
得證
3.空間case屬不同類型(因為空間角度與平面角度觀念不同),
結論未明!

Answer 2

喔喔@@
為什麼你不要到回答區回答呢??

所以四面體的情況還不一定囉?