周長相同...求正五、六、八邊形面積

Question

假設有正五邊形、正六邊形、正八邊形的周長相同，

可不可以請各位將這個周長隨意代入一個數，

算出他們的面積來，請寫一下算式..

謝謝!

Answer 1

圖片參考：http://math.ntut.edu.tw/typer/regpoly.jpg

如圖(或http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740479855&p=9 )
A為正n邊形中心,△ABC為n個△其中一個,∠BAC=2π/n, ∠1=π/n,半徑R,則
正n邊形周長=2n*Rsin(π/n)=L (設周長=L)
=>R=L/[2nsin(π/n)]
正n邊形面積=n*1/2*R2*sin(2π/n)
=n/2*L2/[4n2sin2(π/n)] * 2sin(π/n)cos(π/n)
=L2cot(π/n)/(4n)
Ans: 面積=L2cot(π/n)/(4n) : L為周長,n為邊數

Answer 2

你好
周長相等
那麼代入周長=x或k或a其實跟代入1意思一樣
更簡單(數字比較好算)的方法是代入周長=[5,6,8]=120
正五邊形邊長=24
正六邊形邊長=20
正八邊形邊長=15
正五邊形面積(5/4)cot(π/5) *邊長2
=(5*242/4)cot(π/5)
=990.994982739……
正六邊形面積=6*√3/4*邊長2
=6*√3*202/4
=600√3
=1039.230484541326……
正八邊形面積(2+2√2)*邊長2
=(2+2√2)*152
=450(1+√2)
=1086.39610306789……