圓與直線的關係

Question

1.若直線L:y+1=m(x+1)與圓C:x^2+y^2-4x-2y+1=0有兩個交點，求m的範圍?

2.設P(x,y)為x^2+y^2-2y-19=0上的動點，試求x-2y-2的最大最小值分別是多少?M_____，m_____。

3.自P(1,-1)作圓C:x^2+y^2-2x-4y+4=0的二切線，切點為A,B，則AB線段=?三角形PAB的外接圓為?

4.若方程式(根號4-x^2)=mx+4有兩相異實數解，則實數m的範圍?

Answer 1

【解 1】：

Ｌ: mx－y＋m－1＝0
Ｃ: (x－2)^2＋(y－1)^2＝4
→ 圓心＝C(2,1) 半徑＝2

∴ｄ(C,L) ＝︱2m－1＋m－1︳／√(m^2＋1^2) ＜ 2

→︱3m－2︳＜ 2√(m^2＋1)

→ (3m－2)^2 ＜ 4m^2＋4

→ 9m^2－12m＋4 ＜ 4m^2＋4

→ 5m^2－12m ＜ 0

∴ 0＜m＜12/5

【解 2】：

Ｃ: x^2＋(y－1)^2＝20
→ 圓心＝C(0,1) 半徑＝√20

令動點Ｐ＝(√20 cosΘ,√20 sinΘ＋1)

∴代入x－2y－2

→ √20 cosΘ－2(√20 sinΘ＋1)－2

→ √20 cosΘ－2√20 sinΘ－4

(1) Ｍ＝√【(√20)^2＋(2√20)^2】－4＝10－4＝6

(2) ｍ＝－√【(√20)^2＋(2√20)^2】－4＝(－10)－4＝14

（註：三角函數的疊合）

【解 3】：

Ｃ: (x－1)^2＋(y－2)^2＝1
→ 圓心＝C(1,2) 半徑＝1
設Ｃ’＝(Ｐ＋Ｃ)／2＝(1,1/2)
又ＣＣ’線段＝3/2

Ｃ : (x－1)^2＋(y－2)^2＝1............(1)
Ｃ’: (x－1)^2＋(y－1/2)^2＝9/4......(2)

∴(1)－(2)即為「根軸」: 3y＝5
→ y＝5/3 ------交圓Ｃ於Ａ(α,5/3)　Ｂ(β,5/3)

∴ y＝5/3 代入Ｃ: x^2－2x＋25/9－20/3＋4＝0

→ 9x^2－18x＋1＝0 (兩根為α、β)

→ α＋β＝2且αβ＝1/9

(1) ＡＢ線段 ＝α－β

＝√【(α＋β)^2－4αβ】

＝√【2^2－4‧1/9】

＝(4√2)／３

(2) 三角形PAB的外接圓 → 以ＰＣ線段為直徑之圓

→ (x－1)(x－1)＋(y＋1)(y－2)＝0

→ x^2＋y^2－2x－y－1＝0

（註：「根軸」為過兩圓交點之直線，即ＡＢ直線）

【解 4】：

√(4－x^2)＝mx＋4

→ 4－x^2＝m^2‧x^2＋8mx＋16

→ (m^2＋1)x^2＋8mx＋12＝0

because 有兩相異實數解

∴ Δ＝(8m)^2－4‧12‧(m^2＋1)＞0

→ 64m^2－48m^2－48＞0

→ 16m^2＞48

→ m^2＞3

∴ m＞√3 或 m＜－√3

2007-12-20 23:46:12 補充：
【修正 4】：

because根號必為非負
→ √(4－x^2)≧0
→ 4－x^2≧0
→ x^2≦4
→ －2≦x≦2

(1) 將－2代入√(4－x^2)＝mx＋4
→ 0＝－2m＋4
→ m＝2

(2) 將 2 代入√(4－x^2)＝mx＋4
→ 0＝2m＋4
→ m＝－2

∴ 2≧m≧－2.......................(1)
又 m＞√3 或 m＜－√3......(2)

(1)∩(2) → －2≦m＜－√3 或 √3＜m≦ 2

2007-12-20 23:49:32 補充：
≧------大於或等於0
≦ ------小於或等於0

（抱歉~~這兩個符號顯示不出來）

2007-12-23 17:37:54 補充：
上面那兩個0去掉

（總之，答案是：－2小於或等於m＜－√3 或 √3＜m小於或等於 2
）

Answer 2

1. Ans: 0 圓:(x-2)2 +(y-1)2=4 =>圓心(2,1), r=2
圓心與直線距離<半徑即可
=> |3m-2|/√(m2 +1)<2 => 0 2. Ans:M=6, m=-14
圓: x2+(y-1)2=20 =>參數式(x,y)=(2√5cost, 2√5sint 1)
代入x-2y-2得2√5cost-4√5sint-4=2√5(cost-2sint)-4
(疊合)最小=2√5(-√5)-4=-14, 最大=2√5*√5-4=6
3.Ans: 4√2/3, x2 y2-2x-y-1=0
(1)PAB外接圓即以P(1,-1)與圓心(1,2)為直徑之圓
=>(x-1)(x-1)+(y+1)(y-2)=0 => x2+y2-2x-y-1=0
(2)AB直線(兩圓之根軸):(x2+y2-2x-y-1)-(x2+y2-2x-4y-4)=0=>3y-5=0
圓心(1,2)與AB直線距離=2-5/3=1/3
=>AB長度=2√[12-(1/3)2] =4√2/3
4. Ans: -2<=m<-√3 or √3 考慮y=√(4-x2)與y=mx+4之交點,如圖

圖片參考：http://math.ntut.edu.tw/typer/circle&line.jpg

或參考http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740479854&p=8
切線(圓心(0,0)至直線距離=半徑)=> 4/√(m2+1) =2 => m=√3, -√3
過(2,0),(-2,0)之直線=>斜率=-2, 2
兩交點=> -2<=m<-√3 or √3