高一多項式兩題

Question

1.
f(x)=x³-2ax²-x+2 , g(x)=bx⁴+bx³-x-1 , h(x)=x³-cx之最高公因式為二次式，求 a,b,c 。

2.
設P(x)、Q(x)、R(x)都是實係數多項式，且P(x³)+xQ(x³)=(x²+x+1)R(x)恆成立。
求證：x-1是P(x)、Q(x)、R(x)之公因式

Answer 1

1. Ans: a=b=c=1
(1)h(x)=x(x2-c) , x不是公因式(因f(0)不為0) =>HCF=x2-c
(2)f(x)除以x2-c餘式(x2改為c即得)=cx-2ac-x+2=(c-1)x+2-2ac=0(整除)
=>c=1, a=1
(3)g(x)除以x2-1餘式=b+bx-x-1=0(整除)=> b=1
2.
(1) P(x3)+xQ(x3)=(x2+x+1)R(x) 兩邊同除以x2+x+1, 餘式相同,
(令x2+x+1=0 => x3-1=0, 故將x3改為1即得餘式)
=>P(1)+xQ(1)=0
=> P(1)=0, Q(1)=0 --(A)
(2) P(x3)+xQ(x3)=(x2+x+1)R(x) 兩邊同除以x-1,
=> P(1)+1Q(1)=3R(1)
=> R(1)=0 --(B)
(3)由(A),(B)知x-1為P(x), Q(x), R(x)之公因式

Answer 2

1.
f(x)=x³-2ax²-x+2 , g(x)=bx⁴+bx³-x-1 , h(x)=x³-cx之最高公因式為二次式，求 a,b,c
h(x)=x³-cx= x(x²-c), 最高公因式為n(x²-c) , n屬於R
x²-c必為其公因式
從f(x)÷(x²-c)=x-2a中可知∵c-1=0 , 2-2ac=0∴a=1 , c=1
由g(x)÷(x²-1)=bx²+bx+b得b-1=0∴b=1
Ans : a=b=c=1