ｎ為正整數，ｎ³－８ｎ²＋２０ｎ＋１３為一質數。求ｎ？

Question

ｎ為正整數，ｎ－８ｎ＋２０ｎ＋１３為一質數。求ｎ？

正確題目是標題那個。

Answer 1

題目可能真的有錯，應該是n3-8n2＋20n-13
n3-8n2＋20n-13=(n-1)(n2-7n＋13)
若n-1=1，則n=2，該質數為3
若n-1=-1，則n=0，不合(n為正整數)
若n2-7n＋13=-1，則n無實數解
若n2-7n＋13=1，則n=3或4，質數為2或3。
答：
共三解：
n=2時，質數為3
n=3時，質數為2
n=4時，質數為3

Answer 2

除了列舉外還有其他方法嗎??

Answer 3

題目應該錯了!
1.設f(n)=n3-8n2+20n+13, f(n)為質數, 則n必為偶數
我試過n=100以內, f(n)為質數 => n最大為90, f(n)=666013 (第54023個質數)
n=200以內, f(n)為質數 => n最大為194, f(n)=7004189(第476913個質數)
請問還要繼續嗎?
2.題目應該是: f(n)=n3-8n2+20n-13為質數,求n=?
解: f(n)=(n-1)(n2-7n+13)為質數=> n=2, f(n)=5

註:應該是書本印刷錯誤吧!


2007-12-19 00:54:17 補充：
補充一個嚇人的數據
第50174679個質數= 986063933 = f(998)

2007-12-20 11:37:41 補充：
謝謝克兄指教!
另有２解是n²-7n+13=1 => n=3, 4, f(n)=2, 3亦符合!

Answer 4

ｎ³－８ｎ²＋２０ｎ＋１３
同學 題目打錯了吧
因為為正整數的話 用一次因式檢驗法
如果有整數因式的話必定是n+13 n-13 n+1 n-1其中一個是他的因式
但是四個都不能所以無解
如果題目是ｎ³－８ｎ²＋２０ｎ－１３
那答案就有了 答案是n=1