問幾個圓與直線的高中數學

Question

1. 求與兩直線ｘ－２ｙ＋４＝０，ｘ＋２ｙ＋４＝０相切，且過點（２，２）之圓方程式
ans. (x-1)^2+y^2=5 or (x-6)^2+y^2=20

2.若直線５ｘ－ｙ－ａ＝０與圓３ｘ^2＋３ｙ^2－２ｘ＋４ｙ＋ｂ＝０相切於點（ｃ，－１），求（ａ，ｂ，ｃ）

ans. (11,-7,2)

3.點Ａ（－３，４），圓Ｃ：ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ＋２ｙ＋１＝０，直線過Ａ且與圓心Ｃ交於Ｐ，Ｑ兩點，若ＰＱ＝２根號３，求Ｌ方程式
ans. 4x+3y=0 or 3x+4y=7

4.圓ｘ^2＋ｙ^2－２ｘ＋２ｋｙ＋ｍ＝０之圓心在直線２ｘ＋ｙ＝５上，且半徑為４，求ｋ＋ｍ＝＿＿
ans. -9

to. 煩惱即是菩提
第一題可以講解仔細一點嘛? 看不太懂,或是有除了角平分線以外的解法?
請問第三題的第三部分:(3)弦心距2=1=(5m+5)2/(m2+1) => m=-4/3 or -3/4 有點看不懂? 可以大概講解一下嘛? 不懂這些數字是哪來的...

to.呆呆
並不是每個人身邊都有可以問數學的人或是老師可以給問問題.
而且這也不是作業,是我自學的教材
請搞清楚事實在對別人作評論

to. 煩惱即是菩提&老曾
第三題的第三部分
我看懂式子囉
只是不知道為什麼?可以再講詳細簡單一點嘛?
或是因為引用什麼公式嘛?

Answer 1

1.
(1)圓心必為兩直線的角平分線上
(2)角平分線有兩條: x+4=0, y=0
(3)圓心在 x+4=0上, 設圓心 (-4, t),
則(-4, t)與x-2y+4=0的距離2=(-4, t)與(2, 2)的距離2 =>t無解
(4)圓心在y=0上,設圓心(t,0),
則(t, 0)與x-2y+4=0的距離2=(t, 0)與(2, 2)的距離2
=>t=1 or 6
故圓心(1, 0), 半徑2=5 => (x-1)2+y2=5
或圓心(6, 0), 半徑2=20 => (x-6)2+y2=20
2.
(1)圓: (x-1/3)2+(y+2/3)2=... => 圓心 (1/3, -2/3)
(2)圓心切點連線與切線垂直=> (-1/3)/(c-1/3) = -1/5 => c=2
(3)(c, -1)=(2, -1)在切線上=>a=11
(4)(2, -1)在圓上=>b=-7
3.
(1)圓:(x-2)2+(y+1)2=4 =>圓心(2, 1), r=2 =>弦心距=1 (畢氏定理可得)
(2)設L為 y-4=m(x+3) => m(x+3)-y+4=0
(3)弦心距2=1=(5m+5)2/(m2+1) => m=-4/3 or -3/4
故L為 4x+3y=0 or 3x+4y=7
4.
(1)圓: (x-1)2+(y+k)2=k2+1-m =>圓心(1, -k), r2=k2+1-m
(2)圓心(1, -k)在2x+y=5上=>k=-3
(3)半徑4=> 9+1-m=16 => m=-6
故 k+m = -9

2007-12-20 12:29:04 補充：
1.角平線有兩條
(3)case1: 若角平分線為 x+4=0上, 則設圓心 (-4, t),
(4)case1: 若角平分線為y=0上,則設圓心(t,0),
另法:不強調角平分線(其實本質相同 )
設圓心(x,y),則圓心至兩直線距離相同(均為半徑)
=>|x-2y+4|/√5 = |x+2y+4|/√5 = √[(x-2)²+(y-2)²]
由前兩式=>y=0或 x=-4,再分別與第三式聯立求(x,y)

3.(3)弦心距²=1=(5m+5)²/(m²+1) => m=-4/3 or -3/4

Answer 2

第三題的第三部分
因為直線Ｌ方程式
設為 y-4=m(x+3) => m(x+3)-y+4=0
-mx+y = 4+3m =>
{-mx+y}/√(m^2+1)=(4+3m)/√(m^2+1)

弦心(2,-1)到直線Ｌ距離的平方
={ (4+3m)/√(m^2+1) - (-2m-1)/√(m^2+1) }^2
=(5m+5)^2/(m^2+1)