請問: 高一數學 多項式函數

Question

1.設二次函數f(x)=a(x-1)^2+b,其中a,b為實數,若f(3)>0且f(4)<0,則下列選項哪些正確?
(1)a>0 (2)b>0 (3)f(-1)>0 (4)f(-2)>0 (5)f(-5)
答: 2,3,5


2. 設二次函數f(x)=2x^2+5x+3, 若x為整數, 求f(x)的最小值

答:0

3. 設a>0, 且當2<=x<=5, 二次函數f(x)=ax^2-8ax+b的最大值為6,最小值為2,求a,b的值

答:a=1, b=18

Answer 1

1.設二次函數f(x)=a(x-1)^2+b,其中a,b為實數,若f(3)>0且f(4)<0,則下列選項哪些正確?
(1)a>0 (2)b>0 (3)f(-1)>0 (4)f(-2)>0 (5)f(-5) 答: 2,3,5

f(1)=b表示當x=1時有最大或最小值b 但f(3)>f(4)表示過1以後是遞減，所以a<0 但f(3)>0, 所以b>0 f(3)=a(3-1)^2+b=a*2^2+b>0f(-1)=a(-1-1)^2+b=a*(-2)^2+b>0f(-1)=f(3) f(-2)=(f4)<0 f(-5)=f(7)0, 且當2<=x<=5,二次函數f(x)=ax^2-8ax+b的最大值為6,最小值為2,求a,b的值答:a=1, b=18f(x)=ax^2-8ax+b
f’(x)=2ax-8a
當2ax-8a=0
2a(x-4)=0
a>0
所以
x=4時有最小值
f(4)=16a-32a+b=2
-16a+b=2(1)
而2離4比較遠所以有最大值
f(2)=4a-16a+b=6
-12a+b=6(2)
(2)-(1)=
4a=4
a=1
b=18

答: a=1, b=18

不懂請問!

Answer 2

1.f(x)=a(x-1)^2+b,
f(3)>0且f(4)<0,則有一解在3.4之間
f(3)=4a+b>0
且f(4)=9a+b<0
f(4)-f(3)=5a<0 則 a<0
第一個選項錯誤
4a+b>0且a<0 可得b>0
第二個選項正確
由f(x)=a(x-1)^2+b可知
最低點在x=1時
f(-1)= f(3)>0
第三個選項正確
f(-2)= f(4)<0
第四個選項錯誤
f(5)= f(-3)<0
且f(-5)= f(-3)<0
所以f(-5)< f(5)
第五個選項正確
答: 2,3,5


2. f(x)=2x^2+5x+3
=2(x^2+5x/2)+3
=2(x+5/4)^2+3-2*(5/4)^2
=2(x+5/4)^2-1/8
當x= -5/4時 f(x)的最小值
但題目要求x為整數,
所以找最接近的整數X=-1
得最小值= f(-1)= 0
答:0

3.
f(x)=ax^2-8ax+b
=a(x^2-8x)+b
=a(x-4)^2+b-16a
a>0所以得知開口向上
依條件2<=x<=5
可知 當x=4 有最小值=b-16a=2
當x=2 有最大值=b-12a=6
兩式相減可得 -4a=-4
所以 a=1 b=18
答:a=1, b=18

Answer 3

1. Ans: 2,3,5
(1) x=1處為拋物線之頂點(可能最高或最低), 而向右走時f(3)>f(4),
由頂點向右移動會下降 => 拋物線開口向下
=> a<0, f(1)=b為最大值, so, b>f(3)>0
(2) f(-1)與f(3)左右對稱 => f(-1)=f(3)>0
(3) f(-2)與f(4)左右對稱 => f(-2)=f(4)<0
(4) f(-5)與f(7)左右對稱 => f(-5)=f(7) < f(5)
2. 最小值= -1/8
f(x)=2(x+5/4)2 + 3 - 25/8 = 2(x+5/4)2 - 1/8
故x=-5/4時 f(x)最小值= -1/8
3. 最大值6 (x=2 ), 最小值2 (x=4), a=1, b=18
f(x)=a(x-4)2 + b - 16a
而a>0, 故
(1) x=4時 f(x) = b - 16a 最小值=2
(2) x=2時 f(x) = b - 12a 最大值=6
由(1),(2)知: a=1, b=18



2007-12-17 21:35:30 補充：
更正第2題沒注意到"x為整數":
x取最接近 -5/4之整數, 即 x=-1 => f(x)=2-5+3=0為最小值