幾何問題 求不規則形狀面積

Question

有一正方形ABCD 邊長為a

以A為圓心 正方形邊長a為半徑 畫一在正方形內的1/4圓
另 畫一個正方形之內切圓(半徑1/2a)

此兩圖形交集之面積(像是一個快要滿月的月亮XD)為何??

Answer 1

圖片上傳出了問題,只好用文字描述:
正方形ABCD以C為圓心,CD為半徑畫弧交AC於N,內接圓O交圓弧於E,F, 交AC於M, EF交AC於G, 角ECA=a, 角EOA=b.

解題:
a*sina=a*sinb/2, sina=sinb/2 [1]
a*cosa-a*cosb/2=a/2, cosa=cosb/2+1/2 [2]
[1]2+[2]2: sin2a+cos2a=1=sin2b/4+cos2b/4+cosb/2+1/2=3/4+cosb/2,
cosb=2/4, b=Acos(2/4)=1.2094=69.3o,
sinb=(1-cos2b)=(1-1/8)=(7/8), 代入[1]: sina=(7/32), a=Asin((7/32))=0.4867=27.9o, cosa=(1-sin2a)=5/42
扇形面積: EMFO=p(a/2)2*2b/2p=ba2/4, ENFC=pa2*2a/2p=aa2,
三角形面積: OEF=(a/2)2*sinb*cosb=7a2/32, CEF=a2*sina*cosa=57a2/32,
弧塊面積: EMFG=EMFO-EFO=ba2/4-7a2/32=0.2197a2, ENFG=ENFC-EFC=aa2-57a2/32=0.0733a2,
月牙面積: EMFN=ba2/4-7a2/32-aa2+57a2/32=(b/4-a+7/8)a2=0.1464a2
快滿月面積=pa2/4-(ba2/4-7a2/8-aa2+57a2/32)=(p/4-b/4+a-7/32)a2=0.639a2.


2007-12-22 07:34:52 補充：
因為根號符號被刪,權以紅色代表根號內數字.

Answer 2

圖片參考：http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740479847&p=1

1. 如圖: 綠線所圍面積=(優)扇形OBC+△COB+弓形BECB
2. OA=√2/2, OC=1/2, CD=1/2*sinx, OD=1/2*cosx, AC=1
△ACD中AC2=AD2+CD2 => 1=(√2/2 + 1/2 cosx)2+(1/2 sinx)2
=> cosx=1/√8, CD=1/2 sinx =√7/(4√2)= siny, OD=1/2 cosx=1/(4√2)
=> cos(2y)=1-2sin2y= 9/16, 2y=cos-1(9/16), sin(2y)=5√7/16
=> cos(2x)=2cos2x-1=-3/4 => 2x=π- cos-1(3/4)
=>∠COB(優)=π+ cos-1(3/4)
3.(優)扇形OBC面積=1/2*(1/2)2 *[π+ cos-1(3/4)]
=[π+cos-1(3/4)]/8 ---(A)
4.△COB=CD*OD=√7/32 ---(B)
5. 弓形BECB=扇形ABC-△ABC=1/2*12*2y-1/2*12*sin(2y)
=1/2cos-1(9/16)-1/2*5√7/16 ---(C)
6. 兩圓共同面積=(A)+(B)+(C)=[π+4cos-1(9/16)+cos-1(3/4)-√7]/8
≒0.639


2007-12-18 17:20:57 補充：
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740479847&p=1