困難的微積分求極值應用題

Question

當光源強度一定時,
光源 O 對平面上某點 P 的照明度與線段 OP 長度的平方成反比,
與向量 OP 及平面法向量之夾角 x 的 cos(x) 成正比.

今有一圓桌, 半徑為 R. 欲在圓桌正中央上方懸一燈泡, 使桌緣有最佳照明度, 求燈泡距離桌面之高度.

這個照明度的式子要怎設阿 ? 我覺得很奇怪, 燈泡吊越高線段 OP 越長所以照明度越小, 可是那個夾角又同時變小所以照明度又變大, 這樣不是沒有正比反比的關係嗎 ?

Answer 1

Ans: 高度=R/√2
1. 照明度=k* cosx/距離2, 故求cos(角度) / 距離2 最大即可
2. 設高度為x, 則cos(角度)=x/√(x2 + R2), 距離2 = x2 + R2
=> 照明度 f(x) = x(x2 + R2)-3/2 , x>0
(利用導函數求 f(x)之最大值即可 )
3. f'(x) = (x2 + R2)-3/2 - 3x2(x2 + R2)-5/2 = (x2 + R2)-5/2 (R2-2x2)

故 x=R/√2 時 f(x)最大

Answer 2

這個題目其實不用想的很複雜
我在處理這個問題時特地畫了圖(你看看圖就可以明瞭了!)
由於我的等級不夠不能使用html語法
所以我將詳解貼在我的blog
另外ㄧ位解答者的答案是對的!!

不過,我還提供了不用微積分處理的方法
你可以參考看看,我也用微積分處理了
所以你可以ㄧ併參考!!

blog網址在參考資料中

Answer 3

可是那個式子 x 變大時不是應該和 x^2 + R^2 成反比嗎 ?
但是 cos(角度) 又變大, 這樣整個不就沒有反比關係了 ?
題目是中文的就這樣, 題意讓我很混淆.