微積分找極值的問題(圓錐裡面放圓柱)

Question

這題目很常見吧..我敘述一下
ㄧ個正圓錐裡面放ㄧ個正圓柱..
求正圓柱在裡面最大體積時的半徑和高..
我要問的是..
為何不能把它當能一個直角三角形裡面有一個長方形(也就是把圖形繞著圓心切成片狀.大概想像一下吧)..
然後找長方形最大體積時的長跟寬就可以?


為何不能這樣算?

Answer 1

Ans: 矩形面積與圓柱體積,確實不相同
考慮圓錐剖面右半,看作直角三形,設矩形底x,高y,
則(x,y)滿足直線方程式 x/r+y/h=1 (截距式)
矩形面積為xy, 最大值 時x : y = r : h (用算幾不等式較容易看)
而圓柱體積為πx2y, 最大值時x : y = 2r : h (還是用算幾不等式)
故兩者不相同
另法: 矩形面積xy, 圓柱體積為πx2y, 因此圓柱半徑可以稍為大些!
OK!?

Answer 2

應該可以作
設直角三角形ABC裡面有一個長方形BDEF
設BC=R , BA=H , BD=EF=x , BF= h
則可以求得 h = H(1-x/R)
現在以AB為軸迴轉一圈
直角三角形ABC繞成ㄧ個正圓錐
長方形BDEF繞成ㄧ個正圓柱
則正圓柱的體積為 πx2h = πx2[H(1-x/R)]
利用算幾不等式 [x+x+2(R-x)] >= 3[2x2(R-x)]1/3
==> 4R3 >= 27x2(R-x) ==> x2(R-x) <= (4/27)R3
正圓柱的體積<= (4/27)πHR3
等號成立於 x = 2(R-x) ==> x = (2/3)R , h = H/3