JHMC第五屆題目...

Question

要答案&算法
1.兩個正整數之積比它們的和大 2007 ，且有一數為完全平方數，則兩數中較大的數為?
2.一梯形的兩腰長分別為 3 、 4 ，兩底長分別為 5 、 10 ，則此梯形的兩底中點的連線段長為?
3.某一正整數 n 的個位數字為 5 ，若把最右邊的數字挪到最左邊（例如： 785 → 578 , 12345 → 51234 )所得的新數為 m ，且已知 m 為 n 的 4 倍，則滿足此條件最小的 n 為
4.從 l 到 n 中擦去一個數，其餘數的平均值為812/23,則擦去的數為?

Answer 1

1. 設兩正整數x, y, 且x<=y,則xy-x-y=2007 => (x-1)(y-1)=2008=8*251
=> x-1=1, 2, 4, 8, y=2008, 1004, 502, 251
=> x=2, 3, 5, 9, y=2009, 1005, 503, 252
又有一數為完全平方數, 故 x=9, y=252
2. 設梯形ABCD, AB=5, BC=3, CD=10, AD=4,
A,B在底邊CD上的垂足分別為E,F,
設CF=x, 則DE=5-x,
BF2=AE2 => 9-x2 = 16 - (5-x)2 => x=9/5, 梯形高=12/5
作上下底中點連線,並由畢氏定理, 則
上下底中點連線長平方=(12/5)2+(7/10)2 = (25/10)2
故得 25/10=5/2
3. 設此數前面n-1位為x, 則原數=10x+5, 新數=5*10n-1+x, 則
4(10x+5)=5*10n-1+x => 39x+20 = 5*10n-1
即5*10n-1 除以39餘數=20, 故 n-1最小=5, 11, ...
Ans: 最少為6位數
4. 設擦去的數為x, 1<=x<=n ,剩下n-1數, 平均 812/23約35.3
總和=(1+2+...+n)-x=n(n+1)/2-x = (n-1)*(812/23) ---(A)
n(n+1)/2必為整數, 則n-1為23的整數倍=> n=24, 47, 70, ...
又[(1+2+...+n)-x]之平均大於 [1+2+...+(n-1)]/(n-1)=n/2
且小於 (2+3+...+n)/(n-1)= (n+2)/2
故 n/2 <= 812/23 <= (n+2)/2 , 故 n=69 代回(A)式得x= 49


2007-12-16 22:04:00 補充：
第3題: 最小之6位數=128205

2007-12-17 02:55:12 補充：
更正: 最後一句
故 n/2 <= 812/23 <= (n+2)/2 , 故 n=70 代回(A)式得x= 49

Answer 2

第一至第五屆試題及參考解法請進入下列網址

2007-12-18 15:53:03 補充：
第一至第五屆試題及參考解法請進入下列網址
http://www.thsh.tyc.edu.tw/math/JHMC.html

Answer 3

1. 假設此兩正整數分別為 a = c^2, b , c亦為正整數

則 a*b - (a+b) = 2007 => (a-1)*(b-1) = 2008 = 2^3 * 251 (251 為質數)

又 a-1 = c^2 - 1 = (c-1)*(c+1)

所以 (c-1)*(c+1)*(b-1) = 2^3*251

如果 251 | c-1
如果 c - 1 = 251 不合 (因為 251 * 253 > 2008)
如果 c - 1 = 251*2 不合(乘起來大於 2008)
如果 c - 1 = 251*4 不合(乘起來大於 2008)
如果 c - 1 = 251*8 不合(乘起來大於 2008)
矛盾 所以 251 不是 c-1 的因數 同理可知 251 不是 c+1 的因數

所以 251 | b-1 所以 c^2 - 1 = 1 or 2 or 4 or 8

只有 8 是合理的 所以 c = 3, b-1 = 251

所以 b = 252

所以 兩數為 9, 252 => 252 即為所求

2. 假設 ABCD 為 梯形 AB = 3 BC = 10 CD = 4 DA = 5 ,DA 平行 BC

假設 E 為 BC 之中點 F 為 DA 之中點

連接 AE DE

因為 E 為 BC 之中點 所以 BE = 5

因為 ABCD 為梯形且 DA 平行 BC

所以 AECD 為 平行四邊形 且 角 DAE = 角 AEB

又 BE = DA = 5, AE 為共邊 = CD = 4

所以 三角形 ABE 全等於 DEA (SAS 全等)

所以 DEA 為 3-4-5 直角三角形 且 EF 為 連接斜邊中點 之中線

即 EF 長 為 斜邊中點的 一半長 = 5/2

(直角三角形中斜邊中點到三頂點距離相等)

所以 EF = 5/2 即為所求.

3. 假設 n = 10*a + 5(a 代 0 不合所求)

則 m = 40*a + 20 又 m 的個位數 為 n 的十位數

所以 n = 100*a' + 5 (a' 代 0 不合所求)

所以 m = 400*a' + 20 可知 m 的十位數 為 2 即 n 的百位數為 2

所以 n = 1000*a'' + 205(a'' 代 0 不合所求)

所以 m = 4000*a'' + 820 所以 n 的千位數為 8

所以 n = 10000*a''' + 8205 (a''' 代 0 不合所求)

所以 m = 40000*a''' + 32820

所以 n 的萬位數 為 2

所以 n = 100000*a'''' + 28205

=> m = 400000*a'''' + 112820(a'''' 代 0 不合所求)

所以 n 的十萬位為 1

即 n = 1000000*a''''' + 128205 (a''''' 代 0 合乎所求)

因為確認 那些帶入0 的 只是確認有無更小的解 至於

那些帶入 1~9 而可以的 可以當成是下次求得後 帶入某a^x 為0

所以 n = 128205 即為合乎所求之條件的最小值

4. 因為 這樣做的結果會介於 去掉 1 跟 去掉 n 的平均值中間

即 n/ 2 <= 812/23 <= (n/2) + 1

又 812/23 = 35. 30...

所以 n <= 70.6 <= n + 2

所以 n = 69 或 70

但由平均值的分母 23 可知 23 | (n-1) 所以 n = 70

所以擦去的數為 35*71 - 812*3 = 2485 - 2436 = 49

Answer 4

3.
(x*10+5)*4=x+5*10的n次方
整理後得
39x=5*10的n次方-20
n=1
39x=50-20=30(不合)
n=2
39x=500-20=480(不合)
.......
n=5
39x=499980
x=12820