高一數學~ 前三章的一些問題~

Question

1. 若n是小於2160的政整數,且(2160,n)=120,則滿足的n共有幾個?

答案六個~ 我知道要把2160和120都變成標準分解式
然後呢???



2. 設a,b為複數,下列敘述都是錯誤的
(1)若 ｜a｜=3, 則a=正負3
(2)若a^2+b^2=0, 則a=b=0
(3)若a+bi=2+3i, 則a=2, b=3

這些都是錯的,為什麼呢?




3. 設x,y皆為實數,且-2≦x≦5, 1≦y≦3, 求x^2+y^2的範圍

答案是1≦x^2+y^2≦34
請問怎麼算?

Answer 1

1. n<2160, (n,2160)=120.
[A]
所以 n 是 120 的倍數, 而且小於 2160=120×18.
同時, n=120×m 時, m 還要與 18 互質. 所以 m 只能是
1,5,7,11,13,17, 即 n=120, 600, 840, 1320, 1560, 2040, 共6個.

2. 設a,b為複數,下列敘述都是錯誤的
(1)若 ｜a｜=3, 則a=正負3
(2)若a^2+b^2=0, 則a=b=0
(3)若a+bi=2+3i, 則a=2, b=3
[A]
a, b 是複數, |a|=3 當然不一定 a=3 或 -3, 因為例如 2+i√5 的
絕對值也是 3.
而複數平方可能得負值, 因此當然無法由 a^2+b^2=0 推出
a=0=b 的結論. 例如 1^2+i^2 = 0.
再者, a, b 既不一定是實數, (3) 當然也錯! 因 (3i)+(-2i)i = 2+3i,
也就是說: 若 a=3i, b=-2i, 則 a+bi=2+3i.

3.
-2 =< x =< 5 ==> x^2 最小 0, 最大 25;
1 =< y =< 3 ==> y^2 最小 1, 最大 9.
所以當然得 x^2+y^2 的範圍是 1 至 34, 含端點.

Answer 2

1. 若n是小於2160的政整數,且(2160,n)=120,則滿足的n共有幾個?
解: 2160=24335, 120=233151
2160=120*(2*32)=120*18
則n必在120*(1,2, ... ,18) 18數之內, 但所乘之數要與18互質
故n共 18-2倍數-3倍數+6倍數=18-9-6+3=6個
2. a, b為複數
(1)若 ｜a｜=3, 則a=正負3
表複數平面a與原點距離=3,故a在以原點為圓心,半徑3的圓周上,例a=3i, -3i, 2√2+i, ...等均符合


(2)若a^2+b^2=0, 則a=b=0
a=1, b=i亦可

(3)若a+bi=2+3i, 則a=2, b=3
a=3i, b=-2i亦可
3. 設x,y皆為實數,且-2<=x<=5, 1<=y<=3, 求x2+y2的範圍
0<=x2<=25, 1<=y2<=9
故1<=x2+y2<=34