(數學達人請進)已知n個點，求最佳近似方程式

Question

請教數學達人

已知n個點，(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn)
我想求出 y = x^a，a的最佳解為何?

x = [00.0627450980.1254901960.1882352940.2509803920.313725490.3764705880.4392156860.5019607840.5647058820.627450980.6901960780.7529411760.8156862750.8784313730.9411764711
]

y = [00.0022629530.0103978020.0253712770.0477757540.078056590.1165757760.1636406710.2195197180.2844520620.3586539060.4423229490.5356416090.6387794560.7518950810.8751375821
]

各為17個正數，請問excel有辦法求出a值嗎?
或請提供完整的公式誏我參考，感激不盡

matlab也行

Answer 1

那我換個問法，"最佳"的意思為--希望能求出一個方程式y=x^a，使得上述17點至y=x^a方程式切線距離的總和為最小，此時a的值為何?
我在網路上找到若y=ax+b線性方程式，則可用線性迴歸求解a與b，因為有17個方程式，只有兩個未知數

但y=x^a不是線性方程式，請問求解a的方法有哪些，我需要正式的中英文名，用來投稿文章，感謝大家的協助(我本身對數學不是很內行，問的問題可能有些沒有定義清楚，感謝大家的指正)

Answer 2

若要取對數去配適 y=x^a, 則 log(y) = a * log(x) 之最小平方解為
est_a = Σlog(x)log(y)/Σ(log(x))^2
當然, 實際上用 Excel 的迴歸程序, 選取 "沒有截距項" (或是
"截距設為 0"?) 就可以了!

不過, 這不見得就是 "a 的最佳解"!

基本上你根本沒說你要的 "最佳解" 是甚麼意思.

而就資料分析觀點, 要看資料散佈情形才能知道該用甚麼方法
配適甚麼模型. 如第2位提供意見者說的: 說不定直線模型還比
較適當!

Answer 3

y=x^a 兩邊取自然對數 ln(y)=a*ln(x) -----(1)
利用 MATLAB 作
>> x = [0 0.062745098 0.125490196 0.188235294 0.250980392 0.31372549 0.376470588 0.439215686 0.501960784 0.564705882 0.62745098 0.690196078 0.752941176 0.815686275 0.878431373 0.9411764711];

>> y = [0 0.002262953 0.010397802 0.025371277 0.047775754 0.07805659 0.116575776 0.163640671 0.219519718 0.284452062 0.358653906 0.442322949 0.535641609 0.638779456 0.751895081 0.8751375821];

>> x2=log(x+eps);

>> y2=log(y+eps);

>> a=polyfit(x2,y2,1)
a =
0.9780 -1.0906
做出來答案的意思為
ln(y)=0.9780*ln(x)-1.0906
比較(1)式
a=0.9780

Answer 4

取ln或log,再用線性迴歸??
為什麼要取ln或log? 說不定直接用線性迴歸就可以了.
版主的資料無法分項, 看不懂.

Answer 5

何謂 "最佳"?
先有個 "最佳" 的準則, 再來談怎麼算.

Answer 6

取ln或log,再用線性迴歸,應該就可以了,
若xi有負值,則全取絕對值再求吧!