求一題數學題目的微分解法

Question

f(x)除以(x-1)^2餘3x+2,除以(x+2)^2餘5x-3
求f(x)除以(x-1)^2*(x+2)^2的餘式...
我記的老師是有提到啥米兩邊對x微分
老師說高三會學
可是偶很想知道..

Answer 1

1. 設f(x)=(x+2)2[(x-1)2Q(x)+a(x-1)+b]+5x-3 ---(A)
2. 因f(x)=(x-1)2*g(x)+3x+2 ---(B)
=> f(1)=5 代回(A)式 => b= 1/3
故f(x)=(x+2)2[(x-1)2Q(x)+a(x-1)+1/3]+5x-3 ---(C)
3. 由(B)兩邊求導函數得 f'(x)=2(x-1)g(x)+(x-1)2g'(x)+3 => f'(1)=3
4. 由(C)兩邊求導函數得
f'(x)=2(x+2)[(x-1)2Q+a(x-1)+1/3]+(x+2)2[2(x-1)Q+(x-1)2Q'(x)+a]+5
代x=1=> 3=f'(1)=2+9a+5 => a=-4/9 代回(C)
5. 故f(x)=(x+2)2[(x-1)2Q(x)-4/9(x-1)+1/3]+5x+3
=(x+2)2(x-1)2Q(x)-4/9(x-1)(x+2)2+1/3(x+2)2+5x+3
Ans: 餘式=-4(x-1)(x+2)2/+(x+2)2/3+5x+3


2007-12-14 22:06:23 補充：
最後餘式=-4(x-1)(x+2)²/9+(x+2)²/3+5x+3