請問高一多項式2題^^

Question

1設p,q為正整數, f(x)=x^5-2px^4+x^3-qx^2+x-2有整係數一次因式
則(p,q)? 此一次因式為?

2 x^2000除以x^4-x^2之餘式為?


非常感謝^^

Answer 1

1. (1) f(x)=0不可能有負根
(2) f(x)=0之整數根必為1或2
設根x=1=>2p+q-1=0 不可能有正整數p, q滿足之
設根x=2=>40-32p-4q=0 => 8p+q=10
故(p, q)=(1, 2) (別無它解)
2. x2000=x2*x1998
又x1998除以x2-1餘式=1 => x1998=(x2-1)Q(x) + 1
故x2000=x2[(x2-1)Q(x) + 1] = (x4-x2)Q(x) + x2
Ans:餘式=x2