一題數學題目,拋物線

Question

拜託各位，幫忙解題。謝謝！！
題目如下：

設ＡＢ線段為拋物線ｙ^2＝１６ｘ之弦，且ＡＢ線段之中點為（４,３），則ＡＢ線段方程式為？

答案是：８ｘ－３ｙ－２３＝０

我需要解題過程，謝謝大家的協助。

Answer 1

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/119763762166/

如上圖，
因為A點與B點在y2=16x上，設A座標(a2,4a)，B座標(b2,4b)，
顯然a不等於b，即(a-b)不為0；
根據線段中點公式，
(4a＋4b)/2=3 → 2(a＋b)=3 → a＋b=3/2 → 1/(a＋b)=2/3
AB線段斜率
=(4a-4b) / (a2-b2)
=[4(a-b)] / [(a＋b)(a-b)].....分子分母同除(a-b)
=4 / (a＋b)
=4 * 1/(a＋b)
=4*(2/3)
=8/3
因為AB線段斜率為8/3，令AB線段方程式為8x-3y＋k=0，將點(4,3)代入，
得k=-23，故AB線段方程式為8x-3y-23=0。

Answer 2

設ＡＢ線段為拋物線ｙ^2＝１６ｘ之弦，且ＡＢ線段之中點為（４,３），則ＡＢ線段方程式為？
解:設弦2端點為(x，y)、(8-x，6-y)，
(x，y) 代入，y2=16x….(1)
(8-x，6-y)代入，(6-y)2=16(8-x)，y2-12y+16x-92=0….(2)
(1)代入(2)，32x-12y-92=0，8x-3y-23=0 答: 8x-3y-23=0

p.s.其一端點(8-x，6-y)求法，用中點公式
（４,３）=(x+某數1，y+某數)/2,(某數1，某數2)=(8-x，6-y)

Answer 3

給你答案
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=jiunyan0309&b=6&f=1443722874&p=110
希望對你有幫助

2007-12-14 13:30:06 補充：
發現跟上面的人解法一樣,不過不需要再做另一個驗證,給你參考

Answer 4

答案：直線AB 的方程式為8ｘ－3ｙ－23＝0.

解法:

(1)

設此弦的兩端點為 A(x, y), B(a, b), 由中點公式得:

(x + a) /2 = 4, (y + b) /2 = 3,

解之得 a = 8 - x, b = 6 - y , 所以 B(8 - x, 6 - y)

(2)

A(x, y)在拋物線上所以 x, y滿足ｙ^2 ＝ 16ｘ---(1)

(3)

B(8 - x, 6 - y)也在拋物線上所以x, y,又滿足

(6 -ｙ)^2 ＝ 16 (8 - ｘ)---(2)

(4)

所以x, y,滿足 (1) - (2) (目的是消去 y平方項)得:

12y - 36 = 32x - 128,

32x - 12y - 92 = 0,

8ｘ－3ｙ－23 ＝ 0

故 A(x, y)點滿足 8ｘ－3ｙ－23 ＝ 0

(5)

同理A,B角色對調: 取 B(x,y) , A(8 - x, 6 - y)

則B(x, y)點也滿足 8ｘ－3ｙ－23 ＝ 0

故直線AB 的方程式為 8ｘ－3ｙ－23 ＝ 0.

Answer 5

代一半公式: x2 -> x0x, x->(x0+x)/2, ... ,即得AB之平行線
3y = 8(x+4) => 8x-3y+32 = 0
故AB之方程式為 8x-3y=k
過(4,3)=>k=23
Ans: 8x-3y-23=0