國中有關全等及相似形的證明題(難...)

Question

sorry,我不能貼圖.請自畫之~_~

1.如圖,P為三角形ABC內部的一點,線段PK垂直線段AC於K,
垂直線段BC於M,D為線段AB中點,若角PAC = 角PBC ,
試證: 線段DK = 線段DM


2.在三角形ABC中,已知角A : 角B : 角C = 1:2:4 ,
試證: 1/線段AB + 1/線段AC = 1/線段BC


3.在三角形ABC中,已知線段AD是角BAC的平分線,
試證: 線段AD^2 = 線段AB X 線段AC - 線段DB X 線段DC


4.有一個三角形ABC,已知線段AD是角BAC的內角平分線,
線段AE是角BAC的外角平分線,
試證: 線段BD/線段DC=線段BA/線段AC=線段BE/線段EC


5.已知平行四邊形ABCD,
試證: 線段AC^2 + 線段BD^2 = 2(線段AB^2 + 線段BC^2)


能算幾題算幾題吧@o@

感謝bdref43大師能前來解題,
那個...第三題有部份看不太懂
能不能再解釋清楚一點?
或者更簡單的解法?

Answer 1

圖片參考：http://tw.f14.yahoofs.com/myper/OhavSVOQFAV6aisYqU9I/blog/20071216115143818.jpg?TTa0UZHB1URgASCa

1. 如圖, 取PA中點E, PB中點F,連DE, DF, 因D為AB中點,故DE與PB平行,DF與PA平行, 且DE=PB/2=PF, DF=PA/2=PE. 因角AKP為直角,故K在以E為圓心,PE為半徑的圓上,則EK=PE=DF, 同理, MF=PF=DE, 三角形EKP, FPM為等腰三角形, 且底角相等, 即角FPM=角EPK, 故頂角相等, 即角PFM=角KEP, DEPF為平行四邊形, 故角DEP=角DFP. 三角形EDK和三角形FMD中,KE=DF, DE=MF, 角DEK=角DEP+角PEK=角DFP+角PFM=角DFM, 故兩三角形全等, 故DK=DM, 得證.

2. 如圖, 角A:角B:角C=1:2:4,作角C的分角線交AB於D,再作角ADC的分角線交AC於E. 再作角ADE的分角線交AC於F. 則三角形FAD, FCD, DBC皆為等腰三角形, AF=DF=DC=BD, 三角形DBC與三角形DCF全等, 故 BC=CF, AC=AF+CF=BD+BC [1], 三角形ACD與三角形ABC相似, 故AB/AC=AC/AD=BC/BD, AC*BC=AB*BD, BC=AC*BD/AD [2], 1/AB+1/AC =(AB+AC)/(AB*AC) =(AB*BC+AC*BC)/(AB*AC*BC), 代入[2]: 1/AB+1/AC =(AB*AC*BD/AD+AB*BD)/(AB*AC*BC) =AB*BD*(AC/AD+1)/(AB*AC*BC), 帶入[2]: AC/AD=BC/BD: 1/AB+1/AC =AB*BD*(BC/BD+1)/(AB*AC*BC) =AB*(BC+BD)/(AB*AC*BC), 代入[1]: AC=BD+BC: 1/AB+1/AC=AB*AC/(AB*AC*BC)=1/BC, 得證.

3. 如圖, 由D畫一直線交AB於E使角ADE=角ACD,則三角形ADE與三角形ACD相似,角B=p-2a-g,角BDE=p-角B-角BEO=p-(p-2a-g)-(a+g)=a, 故三角形ABD與三角形OBE相似, AE/AD=AD/AC [1], DE/AD=CD/AC, AC=AD*CD/DE [2], BE/DE=BD/AD, BE=BD*DE/AD [3]. 由[1], AD2=AC*AE=AC*(AB-BE)=AB*AC-AC*BE [4], 由[2],[3], AC=AD*CD/DE, BE=BD*DE/AD, AC*BE=(AD*CD/DE)*(BD*DE/AD)=BD*CD, 代入[4], AD2=AB*AC-BD*CD.

4. 仿第三題, 如圖所示, 由D畫一直線交AB於F使角ADF=角ACD,則三角形ADF與三角形ACD相似, 三角形ADB與三角形DBE相似, 由E向BA延線畫一直線交BA延線於G使角AEG=角AEC, 則三角形AEG與三角形AEC全等, AG=AC, CE=EG [1]. AD為角BAC分角線, EA為角BEG分角線, 由上題知 AB/AC=BD/CD, AB/AG=BE/EG, 代入[1]: BD/CD=AB/AC=BE/CE.

5. 如圖, 由B作AC垂線交AC於E.O為AC,BD交點, 則BD=2*BO, AO=CO.
AC2+BD2=(AE+CE)2+(2*BO)2 =AE2+CE2+2*AE*CE+4*BO2 = AE2+CE2+2*AE*CE+4*BE2+4*OE2 =(AE2+BE2)+(CE2+BE2)+2*BE2+4*OE2+2*AE*CE =AB2+BC2+2*BO2+2*OE2+2*AE*CE =AB2+BC2+2*(BO2-OE2)+4*OE2+2*AE*CE =AB2+BC2+2*BE2+4*OE2-(AE-CE)2+AE2+CE2 = AB2+BC2+(AE2+BE2)+(CE2+BE2)+4*OE2-(2*OE)2 =2*(AB2+BC2)+4*OE2-4*OE2 =2*(AB2+BC2)

2007-12-18 14:01:25 補充：
不要把第三題想得太複雜,作DE線段使三角形ADE與ACD相似後,再來的角度計算是證明三角形DBE與ABD相似,從而得到AE/AD=AD/AC, AD^2=AE*AC=(AB-BE)*AC=AB*AC-BE*AC, 由BE/DE=BD/AD, BE=BD*DE/AD, 和AC/CD=AD/DE, AC=CD*AD/DE, 代入第一式, AD^2=AB*AC-(BD*DE/AD)*(CD*AD/DE)=AB*AC-BD*CD.

Answer 2

每題都要用國中生看得懂的講法嗎?