數學 一元二次方程式

Question

1.設αβ為x^2-2x-4=0之二根,則以β/α，α/β為兩根的新方程式為何?
2.下列敘述何者正確?若f(x),g(x)分別為m與n之多項式
(A)f(x)+g(x)為m+n之多項式(B)f(x)g(x)為m+n之多項式(C)0之次數為0(D)常數沒有次數可言
(3)若2x^2+kx+1=0有兩相異實根,求k之範圍
他給的解答是k>2或k<-2
我覺得他之題目給錯應該是x^2+kx+1=0請問對嗎
需要過程 謝^^y

Answer 1

1.
【觀念】
只要看到這種題目，就要用兩根之合 = - ( b / a)，兩根之積 = c / a 來做。
a, b, c 代表方程式 ax^ + bx + c = 0

所以 αβ為 x^ - 2x - 4 = 0 之二根，
兩根之合α+β= - [ (-2) / 1 ] = 2 ..........(A)
兩根之積 αβ= (-4) / 1 = - 4 .................(B)

那麼，以β/α，α/β為兩根的新方程式
兩根之合 (β/α) + (α/β)
= (α^ + β^ ) / αβ
= [ (α+β)^ - 2αβ] / αβ
由 (A)(B)
= [ 2^ - 2 × (- 4) ] / (- 4)
= 12 / (- 4)
= - 3

兩根之積 (β/α) × (α/β)
= αβ/αβ
= 1

因為兩根之合 = - 3，兩根之積 = 1
所以，新方程式為：x^ + 3x + 1 = 0

2.
(A) 錯，(B) 對。
(C) 應該說 0 沒有次數可言，跟「次數為 0」的意義不同。
就如同「無解」不能說「等於 0」一樣，兩者意義不同。
(D) 應該說常數次數為 0。

3.
【觀念】
方程式 ax^ + bx + c = 0
有兩相異實根 ( 有二解 )，設判別式 > 0
有兩相等實根 ( 只有一解 )，設判別式 = 0
無實根 ( 無解 )，設判別式 < 0
( 判別式 = b^ - 4ac )

如題：
2x^ + kx + 1 = 0 有兩相異實根
設判別式 k^ - 4 × 2 × 1 > 0
k^ - 8 > 0
k^ > 8
k > 2 , k < -2 ........〈答〉

若如你改過的：
x^ + kx + 1 = 0
設判別式 k^ - 4 × 1 × 1 > 0
k^ - 4 > 0
k^ > 4
k > 2 , k < -2 ........〈答〉

兩者結果都一樣！你也很厲害，能找出還有一樣的解^^

2007-12-14 10:27:22 補充：
哈.....抱歉，我一時糊塗了，
k^ > 8，則 k > 2√2, k < -2√2 才對，所以你改過的是對的^^
也謝謝意見的 Nuee 的提醒^^

Answer 2

1.設αβ為x^2-2x-4=0之二根,則以β/α，α/β為兩根的新方程式為何?
解: α+β=2，αβ=-4，α2+β2=(α+β)2-2αβ=4+8=12
新方程式: [x-(β/α)][x-(α/β)]=0
x2-[(β/α)+ (α/β)]x+(β/α)*(α/β)=0
x2-[(α2+β2)/(αβ)]x+1=0
x2+3x+1=0 答: x2+3x+1=0

2.下列敘述何者正確?若f(x),g(x)分別為m與n之多項式
(A)f(x)+g(x)為m+n之多項式(B)f(x)g(x)為m+n之多項式(C)0之次數為0(D)常數沒有次數可言
解: (A)(錯)，是m 或n
(B)(對)
(C) (錯)，0沒有次數
(D) (錯)，常數次數為0 答: (B)


(3)若2x^2+kx+1=0有兩相異實根,求k之範圍
解:因有兩相異實根
故判別式D=b2 -4a c >0
K2-4*2*1>0，k2>8，k>2√2或k<-2√2 答: k>2√2或k<-2√2

他給的解答是k>2或k<-2
我覺得他之題目給錯應該是x^2+kx+1=0請問對嗎
答:是，他之題目給錯，應該是x^2+kx+1=0

Answer 3

k^ - 8 > 0
k^ > 8
k > 2 , k < -2 ........〈答〉

是嗎?

k>2√2, k<-2√2 才對,怎麼會一時迷惘了呢!

Answer 4

1. 新方程式為 (x-α/β)(x-β/α)=0


=> x-(α/β β/α)x 1 =0


故求α/β β/α即可得新方程式


α/β β/α=(α β)/(αβ)=[(α β)-2αβ]/(αβ)


= 12 / (-4)=-3


故新方程式為 x 3x 1 = 0



2. (A)f(x) g(x)的次方<= m,n較大者


(B)對(因為相乘次方相加)


(C)0多項式沒有次數(或不討論其次數,因 0x, 0x要算幾次呢?)


(D)常數(不為0)為0次多項式



3.你算的是正確的,連題目也給你改對了,厲害喔!




2007-12-12 22:55:49 補充：
哇!加號都不見了,重新輸入如下:
1.新方程式為 (x-α/β)(x-β/α)=0
=> x-(α/β+ β/α)x + 1 =0
故求α/β+ β/α即可得新方程式
而α/β+β/α=(α²+β²)/(αβ)=[(α+ β)²-2αβ]/(αβ)
= 12 / (-4)=-3
故新方程式為 x²+ 3x+ 1 = 0

2. (A)f(x)+ g(x)的次方<= m,n較大者
(B)對(因為相乘次方相加)
(C)0多項式沒有次數(或不討論其次數,因 0x², 0x³要算幾次呢?)
(D)常數(不為0)為0次多項式

3.你算的是正確的,連題目也給你改對了,厲害喔!

2007-12-13 00:08:29 補充：
少了一個平方符號,更正如下:
1.新方程式為 (x-α/β)(x-β/α)=0
=> x²-(α/β+ β/α)x + 1 =0