有關座標位置關係與面積計算的數學邏輯

Question

假設我有座標如下
x1,y1:x2,y2:x3,y3:x4,y4:x5,y5:x6,y6: .......xn,yn
1.請問如何判斷某一座標點 X,Y是否落在如上之座標點所圈之範圍內之數學邏輯?
2.請問如何計算如上座標點所圈之範圍內之面積之數學邏輯?

TO: 煩惱即是菩提

我非常的感謝您,這是很不容易的數學邏輯,剩下的是我如何將之轉成電腦程式了!!!, 很感謝!!!

Answer 1

設多邊形頂點為A,B,C,D...W, 欲判斷之點為P,且假設A,B,C,D...,W為依順時針或逆時針順序給點
1.
(1)先求PA向量,單位化(即除以PA長度),即得(COSθ,SINθ),由正負號及反三角,可求得PA向量的方位角θ,同理再求PB向量的方位角θ', 將θ'-θ累加起來(注意含正負號喔!)
(2)重覆上一步驟,再將PC向量與PB向量兩方位角的差,累加起來,...,最後一次累加PA向量與PW向量方位角的差, 得總方位角和
(3)若總方位角和=2π(360度),則P點在多邊形內部,否則P在外部

2.面積有公式
面積=1/2* | x1y2-x2y1+x2y3-x3y2+...+xn-1yn-xnyn-1+xny1-x1yn |

2007-12-14 15:56:44 補充：
只要多邊形，沒有曲線邊，凹凸沒關係，區域內外或面積都沒關係!

2007-12-14 16:07:58 補充：
加上"絕對值":
1.(3)總方位角和的"絕對值" = 2π(360度),則P點在多邊形內部,否則P在外部

2007-12-19 01:40:10 補充：
To: Herbert

想必您有很強的理工背景吧!
想法完全一致!

2007-12-19 01:43:39 補充：
To: Herbert

您在寫電玩程式吧!

Answer 2

樓上的意見一
你好
只要邊為線段(指其不為曲線)即可
不論是凸或凹都可以
就像是海星或再奇怪的類似碎形圖案都適用
注意三點
<一>起點座標要重複一次,把圖形封閉起來
<二>前面有1/2
<三>逆時針其值為正,順時針其值為負

Answer 3

非常感謝您的回答,但有一點小小的疑惑請教您:
面積計算: n邊形的面積為 (1/2) [(x1y2-y1x2)+(x2y3-y2x3)+(x3y4-y3x4)+...+(xny1-ynx1)]的絕對值
請問:假設以上之x1,y1:x2,y2:.......xn,yn 所圍圈之形狀有類似 "凹" 陷之形狀時,或其它之奇形怪狀時,是否也適用以上之公式?

2007-12-18 20:11:56 補充：
TO: 敬愛的 煩惱即菩提
請問: 您所提的 向量方位角: 如為座標點 (0,0)->(1,1) 的方位角是否為 45度,另 座標點 (0,0)->(-1,1)[第二象限]之向量方位角是否為 135度?也就是說向量之方位角是否為自正X向以逆時鐘方向度量為正值?而順時針方向向下量為負值?

2007-12-20 14:07:48 補充：
TO: 敬愛的 煩惱即菩提
感謝您,我在寫一套建築程式,我是建築背景的程式師
Herbert 敬上 2007.12.20

Answer 4

平面上n邊形的面積公式為: (可以用數學歸納法證明)
x1 x2 x3 x4 x5 ......xn x1
y1 y2 y3 y4 y5 ......yn y1

n邊形的面積為 (1/2) [(x1y2-y1x2)+(x2y3-y2x3)+(x3y4-y3x4)+...+(xny1-ynx1)]的絕對值
點必須依照多邊形的次序排列,若是依照逆時針排列其值為正,若是依照順時針排列其值為負

Answer 5

這些點的方程式為 y=X
再座標上 他只是一條直線 所以不會跟X軸還有Y軸構成交點
所以不會有面積