工乘數學基本提

Question

解初始值,檢查答案是否滿足方程式及初始條件(要詳細步驟)
y''-2y'-3y=0 , y(0)=2 , y'(0)=14

Answer 1

(1)輔助方程式 t² - 2t -3 = 0 ==> t = 3, -1
=>通解 y = A e^(3x) + B e^(-x)

(2)求 A, B
y(0) = 0 => A + B =0
y'(0) =14=>3A- B = 14
解聯立得 A=7/2, B=-7/2

故解為 y=7/2 * [ e^(3x) - e^(-x) ]

2007-12-12 02:58:13 補充：
工程數學!

2007-12-12 02:58:45 補充：
工程數學基本題!

2007-12-12 17:18:33 補充：
Sorry! 算成 y(0)=0了!
更正如下：
y(0) = 2 => A + B =2
y'(0)=14 => 3A- B =14
解聯立得 A=4, B= -2

故解為 y = 4 e^(3x) - 2 e^(-x)

Answer 2

已知 y'=dy/dx 可記為Dy， y''=d(dy/dx)/dx可記為D^2y
我們可把D當作一運算子，可以把
y''-2y'-3y=0 表示為 (D^2-2D-3)y=0
如此我們可以設 y= e^ax,下去求解
帶入(D^2-2D-3)e^ax=0，得(a^2-2a-3)e^ax=0
因e^ax不為零(x屬於實數)，故(a^2-2a-3)=0
即(a 1)(a-3)=0
帶入得解1 y1=C1e^-x y2=C2e^3x
因題目原式為線性O.D.E又為齊性
故通解yh=y1 y2=C1e^-x C2e^3x
由初始條件y(0)=2=C1+ C2
yh'=-C1e^-x 3C2e^3x
由初始條件y'(0)=14=-C1+ 3C2
解C1=-2，C2=4
故得解 y=-2e^-x 4e^3x
線性O.D.E中有變系數，常係數，各分階數不同有不同解法
為數學家所發展出的解法，上例為線性齊性二階常係數O.D.E
慣用解法

解題過程
已知(D^2-2D-3)y=0
令 y= e^ax
=>(a^2-2a-3)e^ax=0
解 a=-1,3
=>yh=C1e^-x C2e^3x
y(0)=2=C1+ C2
y'(0)=14=-C1+ 3C2
=>C1=-2，C2=4
y=-2e^-x 4e^3x
=>y(0)=2，y'(0)=14
y'=2e^-x 12e^3x
y''=-2e^-x 36e^3x
=>y''-2y'-3y=0