微積分求漸近線

Question

有人可以幫我求

f(x)=ln(x+2)/ln(x2+3x+3)的水平漸近線跟垂直漸近線嗎?

[x2是x的平方]

感謝!!

對吼!
計算機都是這樣按的
我竟然一時腦殘忘記

Answer 1

1. 上課! (參考以下網址 for 更詳細漸近線相關內容)
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1007121109282

曲線y=f(x)的漸近線:

(1)垂直漸近線
若x→a或x→a+或x→a-時 f(x) → ±∞ ( a 為有限數值),
則曲線 y = f(x)有垂直漸近線 x = a

(2)水平漸近線
若x→∞,或-∞時 f(x)→ k (常數),則曲線y=k為y=f(x)的水平漸近線

2.開始解題
(1)找垂直漸近線
本題分母 ln(x²+3x+3),當 x²+3x+3→1時(即x→-1或-2),分母→0
lim(x→-1) ln(x+2) / ln (x²+3x+3) (為0/0 case, 用L'Hospital's rule)
= lim(x→-1) [1/(x+2)] / [(2x+3)/(x²+3x+3)] = 1 ≠±∞
(註:亦可分子分母同除以 x+1 ,再以導數定義求lim)
故x=-1不是(垂鉛直)漸近線

x→-2+時,(因 ln(x+2)必須限制x>-2) f(x)= ln(x+2) / ln (x²+3x+3)
分子ln(x+2)→ -∞, 分母→ 0+ , 則lim(x→-2+) f(x) = -∞
故x=-2為原曲線之垂直漸近線

(2)x→∞時, (水平漸近線)
f(x)=ln(x+2) / ln (x²+3x+3) = [lnx+ ln(1+2/x)] / [ lnx² + ln(1+3/x+3/x²) ]
= [lnx+ ln(1+2/x)] / [ 2lnx + ln(1+3/x+3/x²) ]
(同除以 lnx)→ (1+0)/(2+0)=1/2
故有水平漸近線 y=1/2

Ans: 水平漸近線 y=1/2, 垂直漸近線 x = -2

註:Sorry! 強迫上課囉!

Answer 2

x的平方就用 x^2 表示啊!
a^b 這種表示法, 在電腦這麼普及的今天...

先弄清楚 "垂直漸近線" 與 "水平漸近線" 的定義吧! 你們的教本
不可能沒談吧?

當 x→∞ 時, ln(x^2 3x 3)=ln(x^2) ln(1 3/x 3/x^2)≒ln(x^2)=2ln(x).
因此 f(x)→1/2, 當 x→∞.

ln(x^2 3x 3)=0 <==> x^2 3x 3=1 <==> x=-1 or x=-2.
但 x 不能是 -2.
可是 x→-1 時, 分子分母同時趨近 0. 所以不能直接代極限公式.
用 L'Hospital's rule,
ln(x 2)/ln(x^2 3x 3) ～ [1/(x 2)]/[(2x 3)/(x^2 3x 3)] →1,
當 x→-1.

因此, 沒有一點可使 x 從左邊或右邊逼近該點時 f(x) 會趨於 ∞
或 -∞.

那麼, 這題的答案是甚麼應該知道了吧?