畫函數圖形(漸進線怎麼求？)

Question

y=(X^2/4)+[1/(X^4-1)]



此題的漸近線有一個是二次曲線

不知道要怎麼算

嗯嗯~另外二條是x=正負1
可是應該還有一條曲線

Answer 1

1. 上課!
曲線y=f(x)的漸近線基本上分為兩類:

(1)鉛直漸近線
若x→a或x→a+或x→a-時 f(x) → ±∞ ( a 為有限數值),
則曲線 y = f(x)有鉛直漸近線 x=a

(2)其他漸近線
若x→∞或x→-∞時 f(x)-g(x)→0,則曲線y=g(x)為y=f(x)的漸近線
若g(x)為一次函數,稱為斜漸近(直)線
若g(x)為常數,稱為水平漸近(直)線
若g(x)不是ax+b型式,則為漸近曲線
通常曲線的漸近線只考慮漸近(直)線case

2.開始解題:

本題曲線 y = x²/4 + 1/(x^4-1) = x²/4 + 1/[(x-1)(x+1)(x²+1)]
(1)很容易看出 x→1 或 x→-1時 函數值 → ±∞,
故有兩線鉛直漸近線 x=1 與 x=-1
(2)x→∞或-∞時, [ f(x) - x²/4 ]=1/(x^4 - 1) → 0
故曲線 y = x²/4 (拋物線)為原曲線的漸近(曲)線

註: 其實漸近(曲)線有很多很多, 例: y = x²/4 + k/x² (k為任意常數)
均為原曲線之漸近(曲)線 (還好題目說明要找二次曲線), 故通常不找漸近曲線.

Sorry! 強迫你上課啦!

Answer 2

http://photo.pchome.com.tw/cloudyma/119739421426
圖形長這樣，程式畫出來的，
以x=1，x=-1，y=x^2/4為漸進線。
(下面那部份的頂端並不是平的，是微微微微向下凹的形狀，像一個很淺很淺的盤子)

2007-12-12 01:58:18 補充：
我想y=1/(x+1)並不算y=(x^2/4)+[1/(x^4-1)]的漸近線，
因為y=1/(x+1)有兩條漸進線：y=0與x=-1，
但y=0並不是y=(x^2/4)+[1/(x^4-1)]的漸進線，
所以當x很大與很小時，y=1/(x+1)與y=(x^2/4)+[1/(x^4-1)]並不會越來越靠近，
所以，我們頂多只能說x=-1是y=1/(x+1)與y=(x^2/4)+[1/(x^4-1)]共同的漸進線；

同理，x=1是y=1/(x-1)與y=(x^2/4)+[1/(x^4-1)]共同的漸進線。

2007-12-12 20:43:35 補充：
是老怪物說「難道你想的是 x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)? 」的。

Answer 3

考慮曲線的話, 也只能考慮 x→∞ 或 x→-∞ 的情形吧?
此時 f(x)≒x^2/4 不是很明顯嗎?

難道你想的是 x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)?

Answer 4

"漸近線有一個是二次曲線"?
是說考慮的不只是 "漸近直線", 而還考慮 "漸近曲線"?