極限求極值的問題?(急!20點)

Question

lim n趨近無限(1/n+1 + 1/n+2 .......1/n+n )?


lim n趨近無限(1/√n^2+1 +1/√n^2+2......1/√n^2+n)

請大家幫忙 我想破頭了
還有很多題 請大家給我一點破提的方法
謝謝 感恩

大家是不是會錯意了
(1/(n+1) + 1/(n+2) .......1/(n+n) )
我一開始也是想無限阿
可是你看 (1/(n+n))*n < 原式 < (1/(n+1)*n)
極限 1/2 1
這兩個都有極限ㄝ

yuchieh 能在講解一下嗎
為什麼事1機到二?

Answer 1

第2題是否少了好幾個平方呢?

2007-12-09 23:26:52 補充：
第2題應是1/√(n²+1²)+...+1/√(n²+n²)吧!?

2007-12-10 00:10:53 補充：
1.
原式=lim(n->∞)Σ(k=1~n)1/(n+k)
=lim(n->∞)Σ(k=1~n)(1/n)/[1+(k/n)] (Riemann's sum)
=∫(x=0~1) dx/(1+x)
=ln(1+x)|(x=0~1)
=ln2

2.題目應該有平方才是!
原式=lim(n->∞)Σ(k=1~n)1/√(n²+k²)
=lim(n->∞)Σ(k=1->∞)(1/n)/√[1+(k/n)²] (Riemann's sum)
=∫(x=0~1) dx/√(1+x²)
=ln|x+√(1+x²)|(x=0~1)
=ln(1+√2)

若如原題,則應解如下:
(1)1/√(n²+1)+1/√(n²+2)+...+1/√(n²+n)
<1/√(n²+1)+...+1/√(n²+1)=n/√(n²+1) --(A)
(2)1/√(n²+1)+1/√(n²+2)+...+1/√(n²+n)
>1/√(n²+n)+...+1/√(n²+n)=n/√(n²+n) --(B)
(3)而lim(n→∞) [n/√(n²+1)]=1
又lim(n→∞) [n/√(n²+n)]=1
(4)由Squeeze thm 知原極限=1

Answer 2

lim n趨近無限[1/(n+1) + 1/(n+2) .......1/(n+n)])

=lim n趨近無限(1/n)[1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) .......1/(1+n/n)] (提出1/n)

取f(x)=1/(1+x)相當於黎曼積分(請參考微積分裡黎曼積分的定義)

被積分函數為 1/(1+x)

x從 1 積到 2

故答案為 ln(1+x) 其中x代入2減掉x代入1

所以答案= ln 2

Answer 3

第一題
n放在分母 由於是無限大
所以1/n會趨近於0
(想想一千萬分之一就非常小了 如果一億 一百億分之一 更接近0)

所以第一題會變成(1+2+3+......+n)
用梯形公式 (n+1)n/2 = (n^2+n)/2 就是答案

第二題
跟第一題是一樣的東西吧...
雖然不太清楚你平方到底擺哪
不過都會變成1/n 就跟第一題一樣了

Answer 4

首先
趨近無限
是不是 應該是 n趨近無限大 才 對?
如果是這樣
因為分母 都趨近無限大
而分子都是1
所以 兩題的答案都是 0 啊