多項式 據說跟 sigma 有關

Question

若(x+1)(x+2)(x+3)‧‧‧(x+10)。
求x8 項的係數何為何？

問題就是求有x8 係數。

最好有特別的解法，不要像我一樣老實加。

給煩惱即是菩提：
ab=[(a+b)²-(a²+b²)]/2
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2
ab+ac+ad+bc+bd+cd=[(a+b+c+d)²-(a²+b²+c²+d²)]/2

請問這些有什麼特別的稱呼嗎？

Answer 1

1.
ab=[(a+b)²-(a²+b²)]/2
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2
ab+ac+ad+bc+bd+cd=[(a+b+c+d)²-(a²+b²+c²+d²)]/2
...

2.
x^8項係數=1,2,3,...,10兩兩相乘之和
=[(1+2+...+10)²-(1²+2²+...+10²)]/2
=(55²-10*11*21/6)²/2
=1320

OK!?

2007-12-10 14:38:01 補充：
ab=[(a+b)²-(a²+b²)]/2
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2
ab+ac+ad+bc+bd+cd=[(a+b+c+d)²-(a²+b²+c²+d²)]/2
...
表示：n個數任意兩數相乘之和＝[(n數之和)²－(n數之平方和)]／2

Answer 2

給克勞棣：
1/2)Σk(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10-k)，k=1到10
這就是我用的方法，不過我沒有想到化成sigma，我直接列式。

你還真強，看出我的心思。

2007-12-09 20:48:23 補充：
為什麼要除以二呢？

2007-12-10 21:24:30 補充：
克勞棣：
所以我才說我算是偏老實加。
不過你除以二我已經知道了。
我好像是把所有數字歸納成金字塔，有呈等差數列，雖然好算，不過有點費工。

Answer 3

以 Π 代表連乘, 就像 Σ 代表加總.
n
Π(x+a_i) = x^n + (Σa_i)x^{n-1} + (Σa_i a_j) x^{n-2} + ... + Πa_i
i=1
其中 Σa_i a_j 是 i≠j; 若用 i

Answer 4

k=1到10，Σk(55-k)=55Σk-Σk^2=55*10(10+1)/2-10*11*21/6=2640
2640/2=1320

答：1320
算式不複雜，但要解釋為何這樣算，這真是有些兒麻煩了。

2007-12-09 17:40:49 補充：
我想您的「老實加」還是有用到一些「不老實」的方法(不然怎麼加呢？)
所以寫成這樣您可能會懂吧！

答案是(1/2)Σk(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10-k)，k=1到10

2007-12-09 21:28:59 補充：
逍遙人：
難道你沒除以2嗎？