急!!!泰勒展開式的題目!!

Question

1.求以x^8除以(x-1)^3之餘為何?

我是高二生，所以希望我能看得懂
雖然我會用二項式定理，但我還是想知道

3Q拉

Answer 1

法一:二項式
設t=x-1,則x^8=(1+t)^8, (x-1)³=t³
原題改為(1+t)^8除t³
又(1+t)^8=1+C(8,1)t+C(8,2)t²+...=1+8t+28t²+...
則(1+t)^8除以t³餘式=1+8t+28t²=1+8(x-1)+28(x-1)²
故餘式=28x²-48x+21

法二:Taylor's series
公式f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)(x-1)²/2!+f'''(1)(x-1)³/3!+...
f(x)=x^8, f'(x)=8x^7, f"(x)=56x^6, ...
f(1)=1, f'(1)=8, f"(1)=56,則
f(x)=x^8=1+8(x-1)+56(x-1)²/2!+...=1+8(x-1)+28(x-1)²+...
故x^8除以(x-1)³餘式=1+8(-1)+28(x-1)²=28x²-48x+21

OK!?