請問一個有關df(x)/dy的問題

Question

再某一瞬間,兩車離垂直交叉的兩條道路之路口皆為10km,A車以30km/hr向東行駛,B車以50km/hr向北行駛,兩車皆朝路口前進,求兩車最接近的距離? 答案約等於3.43km!!

一開始先假設 t 小時,則A B兩車的距離為 s,s=[(10-30t)^2+(10-50t)^2]^1/2

為什麼接下來可以用 ds/dt=0 來解呢???
有人可以交我嗎??

抱歉我問題打錯了是問 df(x)/dx

可是我悶老師是用ds/dt=0!!!

抱歉剛剛是我沒看清楚~~SORRY

Answer 1

題目要求s的最小值,本題可用兩個方法
法1. 以中學的配方法求之,如下:
s²(t)=(10-30t)²+(10-50t)²=3400t²-1600t+200
=3400(t-4/17)²+...
故t=4/17時,s(t)為最小值s(4/17)≒3.4299717(km)

法2. 以導函數ds/dt判別s(t)遞增或遞減,再求s(t)的最小值
(1)求ds/dt
d/dt[s²(t)]=-60(10-30t)-100(10-50t)=6800t-1600
又d/dt[s²(t)]=2s(t)s'(t)
故s'(t)=200(17t-4)/s(t)

(2)判別s'(t)>0或s'(t)<0 (觀察s(t)遞增遞減情形)
s'(t)>0==>17t-4>0==>t>4/17 (此時s(t)遞增)
s'(t)<0==>t<4/17 (此時s(t)遞減)
故s(4/17)為最小值, s(4/17)≒3.4299717(km)

OK!