請問一個對數方程式

Question

ln(1+(a/k))= a/(a+k)

有人知道這要怎麼解 k 跟 a的關係嗎？

Answer 1

Ans: a=0, k是不為0之任意數

1. 已知k≠0,右式同除以k,則ln(1+a/k)=(a/k)/(a/k+1)

2. 設x=a/k (條件a/k=x>-1),則ln(1+x)=x/(x+1),再同乘以x+1
得(x+1)ln(x+1)-x=0

3. 設函數 f(x)=(x+1)ln(x+1)-x, x>-1
(欲求f(x)之最大或最小值,以了解f(x)的表現情形)

4. f'(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x),則
x>0時f'(x)>0=>f(x)遞增
-1f(x)遞減
=>f(0)=0為最小值(無最大值),
故f(x)=(x+1)ln(x+1)-x>=0

5.本題欲解f(x)=0,故恰有一根x=0
即a/k=0

6. Ans: a=0, k是不為0之任意數

OK!? (有點難!)

Answer 2

讓y = a/k
則 ln(1+y) = y/1+y (式-1)
因為函數ln的定義必須有
0 < (1+y)
∴ -1 < y(式-2)

讓 u= ln(1+y)
則(式-1) 變成 u = (exp(u)-1) / exp(u) < 1
也就是 u < 1
所以 ln(1+y) 1+y < e
y < e-1(式-3)
由(式-2) (式-3)得知解在-1和e-1之間。
-1 < y < e-1
我們由牛頓法獲得解 y = 0
所以 a/k = 0. 也就是 a<