求三題工程數學之解答(需過程)

Question

1.若酵母菌的培養中y ′(x)和時間x時之菌數成正比，即y ′ = k y，試驗證y(x) = c ekx 。若y在一天內變為二倍，則同此速率於一週後會有多少？二週後呢？

2.成長率正比於現有人口數稱為馬爾薩斯定律。以美國為例，y(t) = y0 ekt，以百萬計，如下表所示：
t 0 30 60 90 120 150 180 190

年 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 1990
人口數 5.3 13 31 63 105 150 230 250

由前二行求y0和k，然後計算1860，1890……1980，1990年的人口數，並與表中的值比較，試評述之。

3.由觀察結果顯示在高度x的大氣壓力y的變化率與大氣壓力成正比，假設在6000米(約18000呎)高的大氣壓力為海平面大氣壓力y0的 ，求任意高度的大氣壓力公式。

kx
1.c ekx= ce
kt
2.y0 ekt=y0e
3.由觀察結果顯示在高度x的大氣壓力y的變化率與大氣壓力成正比，假設在6000米(約18000呎)高的大氣壓力為海平面大氣壓力y0的1/2 ，求任意高度的大氣壓力公式。

1 2題之kx kt 為e之次方

1. y ' = k y，試驗證y(x) = c e^kx
2. y(t) = y0e^kt

第三題
y(x) = y0 e^(-0.69315x) 這裡 是不是應該改成y(x) = y0 e^(-0.69315x/6000)阿 我代入大氣壓力1024算 如果用y(x) = y0 e^(-0.69315x)算不出來耶

Answer 1

1. 若 y = c e^(kx), [c = y(0)]
則 dy/dx = c e^(kx) d(kx)/dx
y' = k c e^(kx) = ky
QED

因y在一天內變為二倍, 則 y(1) = 2 y(0)
y(0) e^(k) = 2 y(0); e^(k) = 2; k = ln(2)
一週後 y(7) = y(0) e^(7 ln(2)) = y(0) (e^ln(2))^7 = y(0) (2^7)
二週後 y(14) = y(0) e^(14 ln(2)) = y(0) (e^ln(2))^14 = y(0) (2^14)

2. y(t) = y0 e^(k t)
y0 = y(0) = 5.3

y(30) = 13 = (5.3) e^(30 k)
e^(30 k) = (13/5.3)
k = ln(13/5.3) / 30 = 0.897243 /30 = 0.029908

計算之表值
05.30
3013.00
6031.89
9078.21
120191.84
150470.55
1801154.18
1901556.55

3. 在高度x的大氣壓力y的變化率與大氣壓力成正比
y' = ky
y = c e^(kx)
c = y(0) = y0
y(6000) = y0 e^(6000 k) = 0.5 y0
e^(6000 k) = 0.5
k = ln(1/2) / 6000
y(x) = y0 e^(ln(1/2) x)
y(x) = y0 e^(-0.69315x)

Answer 2

第3題是否沒寫完?